6.5 小结

微扰理论的目标是将给定系统运动的各种特性与邻近可解系统的运动特性联系起来。微扰理论可用于预测共振岛和混沌区的大小与位置等特征。

通过微扰分析，我们将系统的演化与另一个不同系统的演化联系起来，从而获得系统演化的近似解。这个不同的系统在近似后可以精确求解。我们将近似问题的精确解反向映射回原始系统，从而得到原始问题的近似解。正则微扰理论的策略是进行正则变换，消去哈密顿量中阻碍求解的项。基于李级数（Lie series）的微扰理论表述方式尤为便利。

我们可以利用一阶微扰理论分析无驱摆的运动，将其视为自由转子加上引力的作用。在这一分析中，我们发现级数中的小分母将微扰解的有效范围限制在远离共振振荡区域的区域。

在摆的高阶微扰理论中，我们发现了久期项（secular terms）问题，即随着时间增长，误差不断增大的项。通过跟踪频率随微扰引入而发生的变化，可以避免久期项的出现。在正则微扰理论中，通过将微扰的平均部分与哈密顿量的可解部分相关联，可以避免久期项。

在高维情形下进行正则微扰理论时，我们发现小分母问题更为严峻。小分母出现在每个可公度性（commensurability）附近，而可公度性是普遍存在的。通过将产生麻烦的项纳入哈密顿量的可解部分，可以在特定可公度性附近局部地避免小分母。如果共振是孤立的，由此得到的共振哈密顿量仍然是可解的。在许多情形下，共振哈密顿量可以很好地近似为摆型哈密顿量。通过将每个共振区域单独求解后再拼接在一起，可以构建全局图像。

如果两个共振区域发生重叠——即共振区域半宽度之和超过了它们之间的间隔——那么就会出现大尺度混沌。与重叠共振的分界线相关联的混沌区域将相互连通。当共振可以很好地近似为摆型共振时，可以发展出一个简单的解析判据来判断大尺度混沌的出现。

可以发展高阶微扰描述来解释那些不与哈密顿量中特定项对应的岛、次级共振、分岔等现象。该理论可以扩展至描述任意想要的细节程度。