6.6 项目

练习 6.4. 周期驱动的摆 a. 详细推导主驱动摆共振的微扰理论，如图 6.10 所示。

b. 详细推导倒立竖直平衡稳定性的微扰理论。推导共振哈密顿量并绘制其等高线。将这些等高线与不同参数下的截面图进行比较。

c. 进行线性稳定性分析，推导至方程 (6.87)。图 6.15 的上半部分发生了什么？为什么系统在判据 (6.87) 预测稳定时却不稳定？使用截面图研究这一参数区域。

练习 6.5. 自旋-轨道耦合 第 2.11.2 节所述的自旋-轨道问题的哈密顿量为

其中忽略的项为偏心率的 e 的高阶项。

a. 求三个主共振的宽度和中心位置。将宽度预测值与截面图上观察到的岛的宽度进行比较。写出共振重叠判据，并与大尺度混沌转变的数值实验进行比较。

b. 同步岛的固定点偏离了平均旋转速率。这表明了月球自转存在“受迫”振荡。通过使用李变换（Lie transform）消去两个非同步共振，发展同步岛内运动的微扰理论。预测截面图上同步共振中心固定点的位置，从而预测月球受迫振荡的幅度。