6.4 非线性共振

我们可以按如下方式发展孤立共振区域的近似。我们再次考虑形如以下的哈密顿量

其中 H₀(t, q, p) = ₀(p) 仅依赖于动量，因此是可解的。我们假设哈密顿量没有显式时间依赖。我们进一步假设坐标均为角度，且 H₁ 是坐标的多重周期函数，可以写成

假设我们对相空间中 n · ₀(p) 接近于零的区域感兴趣，其中 n 是一个整数元组，每个自由度对应一个整数。如果我们像之前那样使用生成元 W 来消除所有 阶项的微扰理论发展方法，那么变换后的哈密顿量为 H₀（这是解析可解的），但分母中会出现 n · ₀(p) 项。所得解在此共振附近不适用。

正如久期项问题通过将更多项与哈密顿量的可解部分归并在一起而得到解决一样，我们可以通过消除更少的项并将更多项归入可解部分来发展在共振区域中有效的近似。

为了在 n · ₀(p) 接近于零的共振区域中发展微扰近似，我们将生成元 W 取为

排除 W 中会在该区域导致小分母的项。变换后的哈密顿量为

其中附加项是 的高阶项。通过将项 k = n 排除在生成函数的求和之外，该项在变换后被保留下来。

变换后的哈密顿量仅依赖于角度的单一组合，因此可以进行变量变换，使得新的变换后哈密顿量在除一个坐标（即这个角度组合）之外的所有坐标上都是循环的。这个变换后的哈密顿量是可解的（可化为求积形式）。

例如，假设有两个自由度 = (₁, ₂)，并且我们对相空间中 n · ₀ 接近于零的区域感兴趣，其中 n = (n₁, n₂)。角度组合 n · 在共振区域中缓慢变化。变换后的哈密顿量 (6.60) 具有如下形式

我们可以将变量变换为 = n₁ ₁ + n₂ ₂，设第二坐标为 ' = ₂ 。² 利用 F₂ 型生成函数

我们发现变换为

在这些变量下，变换后的共振哈密顿量 H'n 变为

该哈密顿量关于 ' 是循环的，因此 ' 是常数。在此常动量下，关于共轭对 (, ) 的哈密顿量只有一个自由度。其解是哈密顿量的等高曲线。将这些解用原始相空间坐标重新表示，就给出了 H'n 的演化。因此共振区域中的近似解为

如果共振区域充分分离，那么可以通过将每个共振区域的这些解拼接在一起来构造全局解。

6.4.1 摆锤近似

共振哈密顿量 (6.64) 具有单个自由度，因此是可解的（可化为求积形式）。我们可以利用该解在共振附近有效的事实，发展共振附近的近似解析解。共振哈密顿量可以用广义摆锤哈密顿量来近似。

令

且

则共振哈密顿量为

定义共振中心 n ，通过要求该处的共振频率为零：

现在将共振哈密顿量的两部分都在共振中心附近展开：

以及

H''n,₀ 展开的第一项是常数项，可以忽略。第二项的系数由 n 的定义知为零。第三项是第一个显著项。此处我们假设 H''n,₁ 的第一项是一个非零常数。在共振处， 方向分界线的尺度通常正比于 ()¹/²。因此 H''n,₀ 的第三项和 H''n,₁ 的第一项都正比于 。后续项是 的高阶项。只保留 阶项，近似共振哈密顿量的形式为

这就是动量方向中心发生偏移的摆锤的哈密顿量。这是解析可解的。

受驱摆锤的共振

考虑周期性驱动摆锤在共振 r(p) = 附近的行为。

受驱摆锤的哈密顿量 (6.54) 在 H₁ 中有三个共振项。完整生成元 (6.56) 中有三个项，旨在消除哈密顿量中相应的共振项。所得的近似解在每个共振 r(p) = 0、r(p) = 和 r(p) = - 附近都有小分母。

为了在 r(p) = 附近发展共振近似，我们不将对应项包含在生成元中，从而使对应项保留在哈密顿量中。为完整生成元 (6.56) 中的各项命名是有帮助的：

完整生成元为 W₀ + W₋ + W₊。

为了研究共振 r(p) = （“+” 共振）附近相空间中的运动，我们使用排除对应项的生成元

使用此生成元，变换后的哈密顿量为

在排除高阶项之后，该哈密顿量仅有坐标的单一组合，因此可以变换成一个除一个自由度外对所有自由度都是循环的哈密顿量。通过混合变量生成函数定义变换

得到变换

用这些新坐标表示，共振哈密顿量为

该哈密顿量关于 t' 是循环的，因此解是 (, ) 中 H₊' 的等高曲线。实际上，这里还可以说得更多，因为 H₊' 已经具有在 方向平移了 且在相位上平移了 的摆锤形式。平移 的出现是因为余弦项的符号为正，而非通常摆锤中的负号。等高曲线的示意图见图 6.8。

练习 6.2. 共振宽度 验证共振区域的半宽度为 2 ( )¹/²。

练习 6.3. 使用计算机 使用计算机验证，利用生成元 W₊ 时变换后的哈密顿量由方程 (6.75) 给出。

受驱摆锤在 r(p) = 共振附近的近似解为

为了了解近似解在多大程度上模拟了实际受驱摆锤，我们使用此近似解制作一个截面，并与实际受驱摆锤的截面进行比较。共振区域中近似解的截面如图 6.9 所示。实际受驱摆锤的截面如图 6.10 下半部分所示。两者的对应关系惊人地好。注意共振岛关于恒定动量线并不是对称的。共振哈密顿量关于 = 是对称的，单独来看它会给出一个对称的共振岛（见图 6.8）。必要的畸变由消除其他共振的 W₊ 变换引入。事实上，在完整截面中，这种畸变似乎是由邻近的 r(p) = 0 共振产生的，它将附近的特征“推开”以腾出空间。然而，实际截面的一些特征并未得到呈现；例如，实际分界线附近存在一个小混沌区。

r(p) = 0 共振附近的微扰解与 r(p) = 和 r(p) = - 共振附近的微扰解平滑地融合。我们可以通过为相空间的每个区域使用适当的共振解来构造复合微扰解。复合微扰解的截面如图 6.10 上半部分所示，实际受驱摆锤的相应截面也一并给出。微扰解捕捉到了在实际截面上看到的许多特征。然而，一阶微扰解未能捕捉到两个主共振之间的共振岛，也未捕捉到主共振区域内包含的次级岛链。此外，一阶微扰解未显示出实际受驱摆锤截面中在分界线附近明显的混沌区。

从不同共振区域的一阶微扰解截面的比较中我们看到，实际受驱摆锤的截面可以通过组合为每个共振发展的近似来近似构造。共振区域的形状被消除邻近共振的变换所扭曲，因此得到的各部分能够一致地拼合在一起。每个共振区域的预测宽度与实际宽度相符：它不会因为消除其他共振项所引入的区域畸变而发生实质性改变。实际截面的所有特征并未都在这个一阶近似拼合中得到复现：在这个一阶近似的拼贴中存在混沌区和岛状结构缺失。

对于更大的驱动，由一阶微扰导出的近似变得更差。在图 6.11 的下半部分中，当驱动幅度增大五倍时，我们失去了分隔共振区域的不变曲线。主共振岛仍然存在，但分界线附近的混沌区已经融合成一个大的混沌海。

图 6.11 上半部分中更强驱动摆锤的复合一阶微扰解仍然相当好地近似了主共振岛的中心，但随着我们向外移动并遇到 r(p) = 共振区域中可见的次级岛时，它开始失效。此时两个区域的近似不再能很好地拼合在一起。混沌海正出现在微扰解不匹配的区域。

6.4.2 哈密顿量的解读

主共振岛的位置和宽度通常可以直接从表示为泊松级数的哈密顿量中读取。对于微扰级数中的每一项，都有一个对应的共振岛。岛的宽度通常可以从哈密顿量中的系数简单计算得到。因此，仅通过观察哈密顿量，我们就能较好地了解在截面上将会看到什么样的行为。例如，在受驱摆锤中，哈密顿量 (6.53) 有三项。我们可以预期，仅仅通过观察哈密顿量，就能在截面上发现三个主共振岛。我们知道这些岛将位于角度的共振组合变化缓慢的位置。因此对于周期驱动的摆锤，共振出现在 r(p) = 、r(p) = 0 以及 r(p) = - 附近。共振岛的近似宽度可以通过简单计算得到。

6.4.3 共振重叠判据

随着驱动幅度的增大，分界线附近的混沌区变大，然后融合成一个大的混沌海。共振重叠判据给出了这种现象何时发生的解析估计。其基本思想是比较相邻共振的宽度之和与它们之间的距离。如果半宽度之和大于间距，则共振重叠判据预测在重叠共振附近将出现大尺度混沌行为。对于周期驱动的摆锤，r(p) = 0 共振的半宽度为 2 ( ß)¹/²，r(p) = 共振的半宽度为 2 ( )¹/²（见图 6.12）。共振之间的间距为 。因此，如果以下条件成立则发生共振重叠：

驱动的幅度通过 进入。求解，我们得到 的阈值，超过此值则发生共振重叠。对于图 6.9-6.11 中使用的参数 = ß = 1、 = 5，共振重叠的 值为 9/4。我们看到，实际上，当 = 5/4 时混沌区已经融合。因此在这种情况下，共振重叠判据高估了产生大尺度混沌行为所需的共振强度。这是共振重叠判据的典型表现。

关于为什么共振重叠判据通常高估产生大尺度混沌所需驱动强度的一种理解方式是，还必须考虑其他效应。例如，随着驱动增大，初级共振之间会出现次级共振；这些共振占据了空间，因此仅考虑初级共振时，共振重叠会在比预期的更小驱动下发生。此外，每个分界线处的混沌区也有其面积需要考虑。

6.4.4 高阶微扰理论

随着驱动增大，出现了各种新的岛，这些岛在原始哈密顿量中并不明显。为了找到这些区域中运动的近似，我们可以使用高阶微扰理论。基本方案与之前相同。在任何阶段，哈密顿量（可能是早期微扰理论阶段的结果）都被表示为泊松级数（多重角傅里叶级数）。在所关注区域中非共振的项通过李变换消除。剩余的共振项只涉及角度的单一组合，因此通过规范变换到共振坐标即可求解。我们在完成求解后变换回原始坐标。

让我们为图 6.10 中在 r(p) = 0 共振与 r(p) = - 共振之间可见的次级岛寻找一个微扰近似。细节较为繁琐，因此我们只给出一些中间结果。

该共振不在三个主共振附近，因此我们可以使用完整生成元 (6.56) 从哈密顿量中消除这三个主共振项。经过这一微扰步骤后，哈密顿量已经复杂到难以直视。

我们将变换后的哈密顿量展开为泊松形式，并将各项分为共振项和非共振项。非共振项可以通过李变换消除。这个李变换将共振项保留在哈密顿量中，并向截面上的曲线引入额外的畸变。在这种情况下，后一种畸变很小，但计算起来非常繁琐，因此我们就不包括这个效应了。此时的共振哈密顿量为（经过大量的代数运算后）

这是可解的，因为只有一个坐标的单一组合。

我们可以通过采用摆锤近似来获得解析解。哈密顿量在动量 p 上已经是二次的，因此我们只需要在共振中心 p₂:₁ = / 2 处计算势能项的系数。在摆锤近似下，共振哈密顿量为

变换到共振变量 = 2 - t 将问题简化为具有单个自由度的摆锤哈密顿量。将这个摆锤哈密顿量的解析解与由完整 W 生成的变换相结合，我们得到一个近似的微扰解

在适当的共振区域内使用此解的截面如图 6.13 所示。将其与实际截面（图 6.10）进行比较，我们看到该近似解很好地表示了该共振运动。

6.4.5 倒立竖直平衡的稳定性

作为第二个应用，我们使用二阶微扰理论研究周期驱动摆锤的倒立竖直平衡。

这里的过程与刚才相同，但我们将关注一组不同的共振项。对于竖直平衡而言缓慢变化的项是那些涉及 但不涉及 t 的项，例如 cos () 和 cos (2 )。因此我们想要使用生成元 W₊ + W₋，它消除涉及 和 t 组合的非共振项，同时保留中心共振。在用此生成元对哈密顿量执行李变换后，我们将变换后的哈密顿量写成泊松级数并收集共振项。变换后的共振哈密顿量为

图 6.14 显示了该共振哈密顿量 H'V 的等高线以及相同参数下实际受驱摆锤的截面。共振哈密顿量的行为与实际受驱摆锤无法区分。该理论在这里表现尤为出色；由于驱动频率很高，附近没有其他共振。

我们可以通过对方程中不动点 = 、p = 0 的共振哈密顿量进行线性稳定性分析，来获得倒立竖直平衡稳定性的解析估计。如果我们首先在共振中心附近进行摆锤近似，代数运算会稍微简单一些。此时共振哈密顿量近似为

倒立竖直平衡的线性稳定性分析表明，稳定性条件为

用原始物理参数表示，竖直平衡线性稳定的条件是

其中 s = (g/l)¹/² 是小幅度振荡频率。要使竖直平衡稳定，驱动幅度与驱动频率的标度化乘积必须足够大。

该解析估计与受驱摆锤的行为比较如图 6.15 所示。对于任意给定的参数赋值，可以通过第 4 章的方法来测试受驱摆锤倒立竖直平衡的线性稳定性；这涉及确定共振中心处参考轨道的特征多项式的根。在图中，对参数赋值的网格上的每个点评估了倒立竖直平衡的稳定性。对于线性稳定的参数组合显示一个点。对角线是倒立平衡稳定区域的解析边界：(/s)(A/l) = (2)¹/²。我们看到稳定区域的边界与由微扰理论导出的解析估计很好地吻合。注意，对于非常高的驱动幅度，还存在另一个不稳定区域，这个分析没有捕捉到这一点。