6.3 多自由度

将微扰理论应用于具有多于一个自由度的系统时会遇到其他问题。考虑形如以下的哈密顿量

其中 H₀ 仅依赖于动量，因此是可解的。我们假设哈密顿量没有显式时间依赖。我们进一步假设坐标均为角度，且 H₁ 是坐标的多重周期函数。

用生成元 W 执行李变换产生的哈密顿量为

与之前一样。消除 阶项的条件为

这是一个线性偏微分方程。根据假设，哈密顿量 H₀ 仅依赖于动量。我们定义

即未受扰系统的频率元组。施加在 W 上的条件为

由于 H₁ 是坐标的多重周期函数，我们可以将其写成泊松级数：¹

类似地，我们假设 W 可以写成泊松级数：

将这些代入消除 阶项的条件，我们得到

余弦函数是正交的，因此每一项必须单独为零。我们推导出

并且所需的李生成元为

这里存在几个问题。首先，如果 A₀ 非零，那么 B₀ 的表达式涉及除以零。因此 B₀ 的表达式是不正确的。问题在于 H₁ 中对应的项不涉及 。因此 B₀ 的积分应该引入 的线性项。但这就是在摆锤的微扰近似中导致久期项的相同情形。我们已经从中吸取了教训，通过将此项归入可解哈密顿量，并将 k = 0 排除在 W 的求和之外，从而避免了久期项。我们得到

以及

另一个问题是，有许多机会出现小的分母，这将使微扰变得很大，因而不再是微扰。正如我们在用转子来微扰近似摆锤时所看到的，我们必须从微扰近似的适用域中排除某些区域。这些被排除的区域与频率 ₀(p) 之间的可公度性相关联。考虑坐标的相空间变换

因此我们必须从适用域中排除所有系数较大的区域。如果第二项占主导地位，则被排除的区域满足

考虑到对于任何频率元组 ₀(p')，我们都能找到一组整数 k 使得 k · (p') 任意小，这个小除数问题看起来非常严重。

然而，尽管问题严重，但由于几个原因，它并不像看起来那么糟糕。首先，可能 Ak ≠ 0 仅对某些 k 成立。在这种情况下，只有这些项的对应区域被排除在适用域之外。其次，对于解析函数，Ak 的幅度随 k 的大小而强烈衰减（见 [4]）：

对于某些正的 ß 和 C，其中 | k |₊ = | k₀ | + | k₁ | + ··· 。在微扰逼近的任何阶段，我们可以将考虑范围限制为那些幅度大于指定值的项。对应于某一项的被排除区域的大小为 |Ak(p')| 的平方根量级，而不等式 (6.51) 表明 |Ak(p')| 随该项的阶数呈指数衰减。

6.3.1 受驱摆锤作为受扰转子

更具体地，考虑周期性驱动的摆锤。我们将为作为受扰转子的受驱摆锤发展近似解。

我们使用哈密顿量

我们可以通过进入扩展相空间来消除显式时间依赖。哈密顿量为

其中常数 = ml²，ß = mlg，以及 = (1/2) m l A ² 。

为了将受驱摆锤近似为受扰转子，我们选择

注意，微扰 H₁ 的泊松级数中只有三项，因此在第一个微扰步骤中，只有三个区域会被排除在适用域之外。微扰 H₁ 特别简单：它只有三项，且系数都是常数。

消除 H₁ 中至 一阶的项并满足

的李级数生成元为

其中 r(p) = ²₀ H₀(; , t; p, pt) = p/ 是未受扰转子的频率。

得到的近似解有三个存在小分母的区域，因此有三个区域被排除在微扰解的适用范围之外。相空间中满足 r(p) 接近 0、 以及 - 的区域被排除。在这些区域之外，微扰解工作良好，就像摆锤的转子近似一样。不幸的是，受驱摆锤相空间中一些更有趣的区域被排除了：我们发现未受驱摆锤残留的区域被排除，摆锤旋转与驱动同步的两个共振区域也被排除。我们需要发展近似这些区域的方法。