6.2 摆锤作为受扰转子

摆锤是一个简单的单自由度系统，其解是已知的。如果我们把摆锤视为一个受到重力附加扰动的自由转子，那么我们可以按照刚才描述的方法执行一个微扰步骤，看看它能在多大程度上近似逼近摆锤的已知运动。

摆锤的运动由哈密顿量描述

其中坐标为 ，共轭角动量为 p ，这里 = ml² 且 ß = mgl 。参数 允许我们缩放微扰；对于实际摆锤，其值为 1。我们将哈密顿量分成自由转子哈密顿量和来自重力的微扰两部分：

其中

李生成元 W 满足条件 (6.7)：

即

因此

其中忽略了一个任意的积分常数。

变换后的哈密顿量为 H' = H₀ + o(²)。如果我们忽略 ² 贡献，则变换后的哈密顿量简化为

其解为

为了将这些解与原问题的解联系起来，我们使用李级数

类似地，

注意，如果李级数被截断，它就不再是精确的规范变换；只有无穷级数才是规范的。

初值 '₀ 和 p'₀ 由 和 p 的初值通过逆李变换确定：

以及

注意，如果我们截断坐标变换至 的一阶项（或任何有限阶），那么逆变换就不是该变换的精确逆变换。

对于给定初始条件 (t₀, ₀, p₀) 的近似解，是先通过变换 (6.20) 和 (6.21) 找到对应的 (t₀, '₀, p'₀)。然后使用解 (6.17) 对系统进行演化。演化点的相空间坐标再通过变换 (6.18) 和 (6.19) 变换回原始变量。

我们定义摆锤哈密顿量的两部分：

(define ((H0 alpha) state)
  (let ((p (momentum state)))
    (/ (square p) (* 2 alpha))))

(define ((H1 beta) state)
  (let ((theta (coordinate state)))
    (* -1 beta (cos theta))))

摆锤的哈密顿量可以表示为参数 的级数展开：

(define (H-pendulum-series alpha beta epsilon)
  (series (H0 alpha) (* epsilon (H1 beta))))

其中 series 过程是一个级数构造函数，其前几项被给出，且所有后续项为零。消除 阶项的李生成元为

(define ((W alpha beta) state)
  (let ((theta (coordinate state))
        (p (momentum state)))
    (/ (* -1 alpha beta (sin theta)) p)))

我们验证 W 满足条件 (6.7)：

(print-expression
 ((+ ((Lie-derivative (W 'alpha 'beta)) (H0 'alpha))
     (H1 'beta))
  (up 't 'theta 'p)))
0

并且它确实对哈密顿量产生了预期的效果：

(show-expression 
 (series:sum
  (((exp (* 'epsilon (Lie-derivative (W 'alpha 'beta))))
    (H-pendulum-series 'alpha 'beta 'epsilon))
   (up 't 'theta 'p))
  2))

确实， 阶项已被移除，并引入了一个 ² 阶项。

忽略新哈密顿量中的 ² 项，解为

(define (((solution0 alpha beta) t) state0)
  (let ((t0 (time state0))
        (theta0 (coordinate state0))
        (p0 (momentum state0)))
    (up t
        (+ theta0 (/ (* (- t t0) p0) alpha))
        p0)))

从带撇坐标到不带撇相空间坐标的变换（包含至 order 阶的项）为

(define ((C alpha beta epsilon order) state)
  (series:sum
   (((Lie-transform (W alpha beta) epsilon)
     identity)
    state)
   order))

至 的二阶，由 W 生成的变换为

(show-expression 
  ((C 'alpha 'beta 'epsilon 2) (up 't 'theta 'p)))

逆变换为

(define (C-inv alpha beta epsilon order)
  (C alpha beta (- epsilon) order))

利用这些组件，微扰解（方程 6.9）为

(define (((solution epsilon order) alpha beta) delta-t)
  (compose (C alpha beta epsilon order)
           ((solution0 alpha beta) delta-t)
           (C-inv alpha beta epsilon order)))

得到的过程将初始态映射到按 delta-t 推进后的状态。

我们可以考察微扰解的行为，并将其与摆锤的真实行为进行比较。这里有几点需要考虑。我们已经截断了相空间变换的李级数。缺失的部分是否重要？如果缺失的部分并不重要，那么这个微扰步骤的效果如何？

图 6.1 显示，随着我们增加相空间坐标变换李级数的项数，结果似乎趋近于收敛。单独的轨迹仅包含一阶项。其他包含二阶、三阶和四阶项的轨迹紧密聚集在一起。在图的左边缘（ = - 处），解沿着图从上到下阶数递增。在中间（ = 0 处），四阶曲线位于二阶曲线和三阶曲线之间。除了相空间路径的误差外，还存在周期误差——高阶轨道的周期比一阶轨道更长。参数为 = 1.0 且 ß = 0.1。我们设 = 1。每条轨迹从 = 0 且 p = 0.7 处开始。注意不同轨迹之间的初始点有所不同。这是因为截断的李级数不能完美地反转变换。

图 6.2 比较了微扰解（包含至四阶的项）与摆锤的实际轨迹。初始点在图的精度范围内重合，因为四阶项已经足够。轨迹在相平面和周期上都有偏差，但它们仍然相当接近。

图 6.1 和图 6.2 中的轨迹都对应相同的初始状态。随着我们改变初始状态，我们发现，对于远离分界线的环流区域中的轨迹，微扰解表现相当好。然而，如果我们靠近分界线，或者进入振荡区域，微扰解就完全不像真实解了，而且它似乎甚至不收敛。图 6.3 显示了当我们试图在振荡区域内使用微扰解时会发生什么。每条轨迹起始于 = 0 且 p = 0.55。参数为 = 1.0 且 ß = 0.1。

微扰解的失效不应令人惊讶。我们假设真实运动是自由转子运动的扭曲版本。但在振荡区域中，这一假设不成立——摆锤根本不在旋转。微扰解仅在真实轨道的拓扑结构与微扰解的拓扑结构相同的区域内才可能有效（如果它们确实有效的话！）。

我们可以通过观察相空间变换 (6.18) 中的第一个修正项，对微扰解的适用范围做出粗略估计。 中的修正正比于 ß / (p')²。如果以下条件成立，那么这个修正就不是一个小扰动：

这给出了微扰解有效性的尺度。

我们可以将这个尺度与振荡区域的大小进行比较（见图 6.4）。我们可以通过考虑分界线来获得摆锤振荡区域的宽度。分界线上哈密顿量的值与不稳定平衡点处的值相同：H(t, = , p = 0) = ß 。分界线在 = 0 处具有最大动量 psep：

求解 psep（振荡区域的半宽度），我们得到

比较方程 (6.22) 和 (6.24)，我们看到，微扰解中各项必须很小的要求排除了相空间中一个与摆锤振荡区域尺度相同的区域。

微扰理论所做的，是扭曲相空间坐标系，使得问题看起来像自由转子问题。这种扭曲仅在环流情形下才是合理的。因此，微扰理论在振荡区域中失效并不令人惊讶。令人惊讶的也许是微扰理论在振荡区域之外的近邻区域中工作得如此之好。微扰理论无效的 p 范围与振荡区域的宽度按相同方式标度。这并非必然——微扰理论本可能在一个更广的范围内失效。

练习 6.1. 辛残差 对于变换 (C alpha beta epsilon order) ，计算辛测试中在不同李级数截断阶数下的残差。

6.2.1 高阶项

我们可以通过执行额外的微扰步骤来改进微扰解。整体方案与之前相同。我们用一个新的生成元执行李变换，该生成元可以从哈密顿量中消除所需的项。

第一步之后，哈密顿量至 的二阶为

用生成元 W' 执行李变换得哈密顿量

因此消除二阶项的条件为

即

满足此条件的生成元为

该生成元有两个贡献，一个正比于 '，另一个涉及 ' 的三角函数。

由此李变换产生的相空间坐标变换按前述方法得到。对于给定初始条件，我们首先执行对应 W 的逆变换，然后执行对应 W' 的逆变换，利用 H₀ 求解系统演化，然后通过 W' 和 W 变换回来。近似解为

通过这种方式得到的解与摆锤的实际演化在图 6.5 中进行了比较。所有李级数中包含至 ⁴ 的项。包含了这第二步微扰的微扰解在初始段中比一阶微扰解（图 6.2）更接近实际解。所跨越的时间间隔为 10。在更长的时间上，二阶微扰解与实际解出现显著偏离，如图 6.6 所示。这些解起始于 = 0 且 p = 0.7。参数为 = 1.0 且 ß = 0.1。跨越的时间间隔为 100。

微扰解的一个问题是，W' 中的项以及相应的相空间坐标变换中的项正比于 '，而 ' 随时间线性增长。因此解仅在短时间内有效；有效性的间隔取决于所研究特定轨迹的频率以及乘在各个项前面的系数的大小。这些出现在微扰表示解中正比于时间的项称为久期项。它们将微扰理论的有效性限制在短时间内。

6.2.2 消除久期项

解决久期项问题的方法由 Lindstedt 和 Poincaré 提出。每个微扰步骤的目标是消除哈密顿量中阻碍求解的项。然而，H' 中导致生成元 W' 中出现久期项的那一项实际上并不妨碍求解。因此更好的做法是将该项保留在哈密顿量中，并寻找生成元 W'' 仅消除在 ' 中周期性的项。因此 W'' 必须满足

生成元为

用此生成元执行李变换后，新的哈密顿量为

包含至 ² 阶的项，解为

我们像之前一样通过组合变换、修正哈密顿量的解以及逆变换来构造给定初始条件下的解。近似解为

得到的相空间演化如图 6.7 所示。现在微扰解在相平面上是一条闭合曲线，并且与实际解相当吻合。

通过修改哈密顿量的可解部分，我们也在修改解的频率。久期项的出现是因为我们试图用错误的频率将具有某一频率的解近似为傅里叶级数。作为一个类比，考虑

周期项乘以作为时间多项式的项。这些多项式是周期函数幂级数的初始段。无穷级数是收敛的，但如果级数被截断，误差在长时间上就会很大。

将微扰解继续推进到更高阶，现在就只是对已经执行的步骤的简单重复。在微扰解的每一步，都会有新的贡献加入到哈密顿量的可解部分，从而吸收潜在的久期项。这个贡献正是哈密顿量被写成傅里叶级数后的与角度无关部分。傅里叶级数的常数部分与哈密顿量在角度上的平均值相同。因此，在微扰理论的每一步，微扰的平均值被纳入哈密顿量的可解部分，而周期部分则通过李变换消除。