6.1 基于李级数的微扰理论

给定一个系统，我们寻找如下形式的哈密顿量分解

其中H0是可解的。我们假设哈密顿量没有显式的时间依赖性；如有必要，可以通过扩展到扩展相空间来确保这一点。我们还假设已经进行了典型变换，使得H0仅依赖于动量：

我们执行李变换，并找出李生成元W必须满足的条件，以从哈密顿量中消除阶项。

李变换及其相关的李级数指定了一个典型变换：

其中Q = I1和P = I2是坐标和动量选择器，I是恒等函数。回顾定义

其中LW F = { F, W }。

将李变换应用于H得到

如果W满足条件，则中的一阶项为零

这是关于W的一个线性偏微分方程。变换后的哈密顿量为

其中我们使用了条件(6.7)来简化2贡献项。

微扰理论的基本步骤已从哈密顿量中消除了特定阶数（阶）的项，但在此过程中产生了新的高阶项（此处是2阶及更高阶）。

此时，我们可以通过将哈密顿量(6.8)截断到可解的H0来找到近似解。给定初始条件(t0, q0, p0)的近似解，通过使用变换(6.4)的逆变换找到对应的(t0, q'0, p'0)来获得。然后使用截断哈密顿量H0的解将系统演化到时间t，得到状态(t, q', p')。演化点的相空间坐标通过变换(6.4)变换回原始变量，得到状态(t, q, p)。近似解为

如果李变换E', W = e LW必须通过级数求和来求值，那么我们必须指定求和所延伸到的阶数。

假设一切顺利，我们可以想象重复这一过程以消除2阶项等，使变换后的哈密顿量尽可能接近H0。不幸的是，存在一些复杂情况。通过考虑一些具体应用，我们可以理解其中一些复杂情况以及如何处理它们。