第6章 典型微扰理论

动力系统的闭式解很少能找到。然而，有些系统与可解系统的区别仅在于添加了一个小效应。微扰理论的目标是将给定系统运动的各个方面与邻近可解系统的运动联系起来。我们可以尝试找到一种方法，将这个近似问题的精确解转化为原问题的近似解。我们也可以使用微扰理论尝试预测解的定性特征，描述可解系统的解受到附加效应扭曲的特征方式。例如，我们可能希望预测最大共振区域的位置，或最大混沌区域的位置和大小。能够预测这些特征可以深入了解特定感兴趣系统的行为。

例如，假设我们有一个系统，其特征哈密顿量分解为如下两部分：

其中H0是可解的，是一个小参数。那么我们的系统与可解系统之间的差异就是一个小附加复杂项。

有多种策略可以做到这一点。一种策略是寻找一个典型变换，从哈密顿量中消除阻碍求解的阶项——这通常会引入新的2阶项。然后寻找另一个典型变换来消除阻碍求解的2阶项，留下3阶项。我们可以想象重复这一过程，直到阻碍求解的部分在中的阶数高到可以被忽略。将问题简化为可解问题后，我们可以反转变换序列，找到原问题的近似解。这个过程收敛吗？我们如何知道我们永远可以忽略剩余项？让我们沿着这条路走下去，看看它会通向何处。