5.13 项目

练习5.32. 分层雅可比坐标 n体问题的哈密顿量为

其中

且

其中xi是第i个物体的直角坐标元组，pi是第i个物体的共轭线性动量元组。

系统的势能仅取决于各物体的相对位置，因此相对运动与质心运动解耦。在本问题中，我们探讨实现这种解耦的典型变换。

a. 典型日心坐标。坐标变换如下：

其中X是系统的质心，且

对于i>0，为第i个物体与索引为0的物体（可能是太阳）的位置差。使用F2型生成函数找到相关的典型动量。证明势能可以仅用i>0的坐标表示。证明动能不是动量平方除以质量常数的和的形式。

b. 雅可比坐标。雅可比坐标将质心运动分离出来，同时不破坏动能通常的对角二次型形式。将Xi定义为索引小于等于i的物体的质心：

雅可比坐标定义为

对于0 < i < n，且

对于0 < i< n，坐标x'i是第i个物体的位置与较低索引物体质心之差；坐标x'0是系统的质心。通过使用F2型生成函数找到共轭动量来完成典型变换。证明动能仍然可以写成以下形式

对于某些常数m'i，且势能V可以仅用索引i > 0的雅可比坐标x'i表示。

c. 分层雅可比坐标。将“物体”定义为一个质量与一个直角坐标位置元组组成的元组。一个n体“系统”是n个物体的元组：(b0, b1, ... , bn-1)。为物体j和k定义一个“链接”变换jk，该变换接收一个n体系统并返回一个新的链接系统：

新系统中的物体与旧系统bi' = bi中的物体相同，除了物体j和k：

这是对物体j和k的相对坐标和质心的变换。将此变换扩展到相空间，并证明它保持动能的形式

证明第b部分的雅可比坐标变换由链接变换的复合生成：

解释由这样一系列链接变换产生的坐标变换；为什么我们称此为“链接”变换？链接变换的复合需要满足什么条件才能将系统的质心分离出来（使其成为其中一个坐标）？考虑这一约束，为一个由六个物体组成的系统找到分层雅可比坐标，这些物体排列为两个三重系统，每个三重系统是一个双星加上第三个物体。验证其中一个坐标是系统的质心，并且动能仍然是动量平方除以适当质量常数的和。

练习5.33. 辛积分 考虑一个系统，其哈密顿量H可以分解为两部分H0和H1，每一部分描述一个可以有效演化的系统：

辛积分器从H0和H1的解构造哈密顿量H的近似解。

我们按如下方式构造相空间到自身的映射（参见 Wisdom [47]）。将2(t)定义为狄拉克δ函数的无穷和，区间为2，

其傅里叶表示为

回顾函数具有这样的性质：对于任意正数a和连续实值函数f，有-aa f = f(0)。将δ函数视为函数h的极限是富有成效的，该函数在区间-h/2 < t < h/2内取值为h(t) = 1/h，在其他处为零。现在考虑映射哈密顿量

δ函数之间系统的演化仅由H0支配。要理解系统如何跨越δ函数演化，将δ函数视为h，其中h趋于零。哈密顿方程包含来自H1的项（带有因子1/h，该因子很大）和来自H0的项（与h无关）。因此，当h趋于零时，H0对演化的贡献可以忽略不计。跨越δ函数的演化仅由H1支配。Hm的演化通过交替进行以下操作获得：先根据哈密顿量H0演化系统一段时间间隔 t = 2 / ，然后根据哈密顿量H1演化相同的时间间隔。Hm的长期演化通过迭代此相空间到自身的映射获得。补充细节以证明这一点。

用李级数表示，一个δ函数周期 t内Hm的演化由下式生成

Hm的演化近似于H的演化。将非对易算子A与LH0等同，将B与LH1等同。使用Baker-Campbell-Hausdorff恒等式（方程5.475）推导出局部截断误差（单步 t后的状态误差）与( t)2成正比。该映射是一阶积分器。

只需改变δ函数的相位，我们就可以减小映射的截断误差，映射变为二阶积分器。我们可以不通过交替进行由H0支配的整步 t和由H1支配的整步 t来构造映射，而是通过以下方式构造映射：先由H0支配演化半步 t / 2，然后由H1支配演化整步 t，最后再由H0支配演化半步 t / 2。用李级数表示，二阶映射由下式生成

确认支配此映射演化的哈密顿量与上述相同，但δ函数的相位发生了偏移。证明此二阶映射单步的截断误差确实与( t)3成正比。

考虑Hénon-Heiles系统。我们可以按如下方式将哈密顿量分解为两个可解的哈密顿量（Wisdom [48]）：

哈密顿量H0是两个无耦合线性谐振子的哈密顿量；哈密顿量H1是一个非线性耦合项。这些哈密顿量各自描述的系统的轨迹可以用闭式表达。编写实现Hénon-Heiles问题一阶和二阶映射的程序。检查混沌和准周期初始条件下能量的演化。能量误差的大小如何随步长变化；这是否与上述推导的积分器阶数一致？能量误差如何随时间增长？使用二阶映射生成庞加莱截面。该映射是否保持了轨迹的混沌或准周期特性？