5.12 总结

正则变换可用于在更易于理解或能揭示问题某些对称性的坐标下重新表述问题。

在本章中，我们研究了一个动力系统的不同表示。我们发现，如果变换的坐标-动量部分具有辛导数，并且哈密顿量以特定方式变换，那么不同的表示将是等价的。如果相空间变换与时间无关，则哈密顿量通过与相空间变换复合来变换。辛条件可以等价地用基本泊松括号来表达。泊松括号和 函数在正则变换下是不变的。 的不变性意味着正则变换保持基本坐标-动量平面上投影面积之和（庞加莱积分不变量）。

我们可以构造一个拓展相空间，其中时间被当作另一个坐标处理。依赖时间的变换在拓展相空间中很简单。在拓展相空间中，庞加莱积分不变量就是庞加莱-嘉当积分不变量。我们还可以将一个与时间无关的问题重新表述为具有更少自由度的依赖时间的问题，其中一个原始坐标扮演时间的角色；这就是约化相空间。

生成函数是相空间坐标和时间的实值函数，它通过其偏导数来表示正则变换。我们发现每一个正则变换都可以由一个生成函数来表示。证明依赖于庞加莱积分不变量（而不是因为全时间导数可以添加到拉格朗日量中而不改变运动方程这一事实）。

任何哈密顿系统的时间演化都会诱导出一个正则变换：如果我们考虑一个哈密顿系统的所有可能初始状态，并跟踪所有轨迹在相同时间间隔内的演化，那么从初始状态到每个轨迹最终状态的映射就是一个正则变换。这对于我们选择的任何时间间隔都成立，因此时间演化生成了一个连续的正则变换族。

我们将这一思想推广到生成时间演化之外的其他连续正则变换。这类变换在支持微扰理论方面将特别有用。

在少数情况下，可以找到一个正则变换，使问题在一种新的表示中易于求解：即所有坐标都是循环的，所有动量都是守恒的。在这里，我们研究了寻找此类正则变换的哈密顿-雅可比方法。对于哈密顿-雅可比方法适用的那些问题，我们发现系统的时间演化被表示为一种正则变换。