5.11 指数恒等式

李变换的复合可以写成李导数算子的指数乘积。一般来说，李导数算子不可交换。如果 A 和 B 是不可交换算子，那么指数不会以通常的方式结合：

因此，回顾一些关于不可交换算子指数的结果将会有所帮助。

我们引入对易子

对易子是双线性的并满足雅可比恒等式

这对所有 A、B 和 C 都成立。

我们引入记号 A 来表示关于算子 A 的对易子：

用 表示，雅可比恒等式为

一个重要恒等式是

我们可以逐项验证这一点。

我们看到

利用 e-C eC = I，即恒等算子。使用同样的技巧，我们得到

更一般地，如果 f 可以表示为幂级数，则

例如，将其应用于指数函数得到

利用方程 (5.467)，我们可以将其重写为

练习 5.30. 李导数的对易子 a。设 W 和 W' 是两个相空间状态函数。使用泊松括号雅可比恒等式 (3.92) 证明

b。考虑用直角正则坐标给出角动量分量的相空间状态函数

证明

c。将算子的雅可比恒等式与泊松括号雅可比恒等式联系起来。

练习 5.31. Baker-Campbell-Hausdorff 公式 推导不可交换算子指数结合的规则：