5.8 哈密顿-雅可比方程

如果我们能找到一个正则变换使得变换后的哈密顿量恒为零，那么根据哈密顿方程，新的坐标和动量将是常数。解的所有时间变化都将被包含在正则变换中，而解就没有更多内容了。完成此任务的混合变量生成函数满足一个称为哈密顿-雅可比方程的偏微分方程。在大多数情况下，哈密顿-雅可比方程无法显式求解。然而，当它可以求解时，哈密顿-雅可比方程提供了一种将问题简化为有用的简单形式的手段。

回顾 F2 型生成函数满足的关系：

如果我们要求新哈密顿量为零，那么 F2 必须满足方程

因此问题的求解被“简化”为求解一个关于 F2 的 n 维偏微分方程的问题，其中包含未指定的新（常数）动量 p'。这就是哈密顿-雅可比方程，在某些情况下我们可以求解它。

我们也可以尝试一种不那么彻底的方法来求解。与其尝试找到一个使新哈密顿量恒为零的 F2，不如寻找一个 F2 型的函数 W，使得新哈密顿量仅仅是新动量的函数。由这种形式的哈密顿量描述的系统也易于求解。因此，如果我们令

并且能够解出 W，那么问题基本上就解决了。在这种情况下，带撇的动量都是常数，带撇的位置是时间的线性函数。这是哈密顿-雅可比方程的另一种形式。

这些形式是相关的。假设我们有一个满足哈密顿-雅可比方程第二种形式 (5.361) 的 W。那么由 W 构造的 F2

满足哈密顿-雅可比方程的第一种形式 (5.360)。此外，

因此带撇的动量在两种表述中是相同的。但

所以我们看到带撇的坐标相差一个时间线性项——p'(t) = p'0 和 q'(t) = q'0 都是常数。因此我们可以使用 W 或 F2 作为生成函数，取决于我们想要的新哈密顿量的形式。

注意，如果 H 是时间无关的，那么我们通常可以找到一个时间无关的 W 来完成这项工作。对于时间无关的 W，哈密顿-雅可比方程简化为

相应的 F2 则关于时间是线性的。注意，一个隐含的要求是能量可以写成新动量的函数。这排除了变换后的相空间坐标 q' 和 p' 仅仅是 q 和 p 的初始条件的可能性。

事实证明，函数 E 的选择存在灵活性。通过适当的选择，由 W 生成的变换得到的相空间坐标是作用-角坐标。

练习 5.23. 用 F1 的哈密顿-雅可比方程

我们使用了 F2 型生成函数来进行哈密顿-雅可比变换。用 F1 型生成函数进行等价的变换。找出对应于方程 (5.360)、(5.361) 和 (5.365) 的方程。

5.8.1 谐振子

考虑熟悉的时间无关哈密顿量

我们为这个问题构造哈密顿-雅可比方程：

利用 F2(t, x, p') = W(t, x, p') - E(p') t，我们得到

将其显式写出得到

解出 1 W 给出

积分得到所需的 W：

我们可以使用 W 或相应的 F2 作为生成函数。首先，取 W 为生成函数。我们通过微分得到坐标变换：

然后积分得到

带有某个积分常数 C(p')。反转这个关系，我们得到未带撇的坐标用带撇的坐标和动量表示：

新的哈密顿量 H' 只依赖于动量：

运动方程就是

其解为

对于初始条件 x'0 和 p'0。如果将 x'(t) 和 p'(t) 的这些表达式代入方程 (5.374)，我们得到

其中角频率为 = (k/m)1/2，振幅为 A = (2E(p')/k)1/2，相位为 = - t0 = (x'0 - C(p'))/DE(p')。

我们也可以使用 F2 = W - E t 作为生成函数。新的哈密顿量为零，因此 x' 和 p' 都是常数，但新旧变量之间的关系是

代入解 x' = x'0 和 p' = p'0 并解出 x，我们得到方程 (5.378)。所以我们再次看到这两种方法是等价的。

值得注意的是，解依赖于常数 E(p') 和 DE(p')，但除此之外运动并不本质地依赖于函数 E 具体是什么。动量 p' 是常数，常数的值由初始条件确定。给定一个特定的函数 E，初始条件确定 p'，但无需进一步指定 E 函数即可得到解。

如果我们选择特定的函数 E，我们可以得到特定的正则变换。例如，一个方便的选择就是

其中 是某个稍后选择的常数。我们得到

所以我们看到，一个方便的选择是 = = (k/m)1/2，因此

其中 ß = (km)1/2。新的哈密顿量为

解就是 x' = t + x'0 和 p' = p'0。将 x 用 x' 和 p' 表示的表达式代入 H(t, x, p) = H'(t, x', p')，我们推导出

这两个变换方程 (5.382) 和 (5.383) 就是我们之前称之为极坐标-正则变换（方程 5.34）的东西。我们已经证明这个变换是正则的，并且它能够求解谐振子，但之前并未推导出来。在这里，我们推导出这个变换作为哈密顿-雅可比方程解的一个特例。

我们也可以探索 E 函数的其他选择。例如，我们可以选择

遵循与之前相同的步骤，我们得到

所以一个方便的选择仍然是 = ，留下

其中 ß = (km)1/4。根据构造，这个变换也是正则的，并且也将谐振子问题转化为易于求解的形式：

谐振子哈密顿量已被变换为一个看起来很像自由粒子哈密顿量的形式。这非常有趣。注意到，哈密顿量 (5.383) 没有定义良好的勒让德变换到等价的拉格朗日量，而“自由粒子”谐振子具有定义良好的勒让德变换：

当然，可能存在额外的性质使得某些选择在特定应用中比其他选择更有用。

练习 5.24. Pendulum

求解单摆的哈密顿-雅可比方程；研究相空间中的循环区域和振荡区域。（注：这是一个漫长的故事，需要一些椭圆函数的知识。）

5.8.2 开普勒问题

我们可以使用哈密顿-雅可比方程来找到求解开普勒问题的正则坐标。这是对轨道问题进行微扰论的必要第一步。

在直角坐标 (x, y, z) 中，开普勒哈密顿量为

其中 r2 = x2 + y2 + z2，p2 = px2 + py2 + pz2。开普勒问题描述了两个物体的相对运动；它也出现在涉及轨道运动的其他问题的表述中，例如 n 体问题。

我们尝试形式为 W(t; x, y, z; p'x, p'y, p'z) 的生成函数。哈密顿-雅可比方程则为30

这是一个关于 W 的三个偏导数的偏微分方程。我们凝视它片刻，然后放弃。

接下来我们尝试转换为球坐标。这样做是因为势能只依赖于 r。在球坐标 (r, , ) 中的哈密顿量为，其中 是余纬度， 是经度：

哈密顿-雅可比方程为

我们可以通过逐步分离各个变量的依赖关系来求解哈密顿-雅可比方程。首先看 依赖关系，我们看到，在 W 之外， 只出现在一个偏导数中。如果我们写

那么 1,2W(t; r, , ; p'0, p'1, p'2) = p'2，然后 不再出现在 f 的剩余方程中：

任何 p'i 的函数都可以用作生成函数中 的系数。这个特定选择的优点在于 p'2 是角动量的 z 分量。

如果我们选择

并要求 是以下方程的解，就可以消除对 __P2__'1 的依赖

我们可以自由选择右边为任意新动量的函数。这个选择反映了左边是非负的这一事实。结果 p'1 是总角动量。 的这个方程可以通过求积法求解。

确定 R 的剩余方程是

这也可以通过求积法求解。

总的来说，哈密顿-雅可比方程的解为

有趣的是，我们对哈密顿-雅可比偏微分方程的解具有以下形式

因此我们有一种分离变量技巧，将解写成各个变量的函数之和。这可能与初等量子力学和经典电动力学中遇到的分离变量技巧形成对比，后者使用各个变量函数的乘积。然而，经典力学中的可积问题很少见，因此将此方法视为一般的求解方法是不正确的。

与动量 p' = [p'0, p'1, p'2] 共轭的坐标 q' = (q/ 0, q/ 1, q/ 2) 是

我们仍然可以自由选择 E 的函数形式。一个方便（且传统）的选择是

通过这个选择，动量 p'0 具有角动量的量纲，共轭坐标是一个角度。

开普勒问题的哈密顿量被简化为

因此

其中 n = m µ2 / (p'0)3，且 ß0、ß1 和 ß2 是 q' 各分量的初始值。新的变量中只有一个随时间变化。31

5.8.3 F2 与拉格朗日量

哈密顿-雅可比方程的解，即产生时间演化的混合变量生成函数，与变分原理中使用的作用量有关。特别地，生成函数在可实现路径上的时间导数与拉格朗日量具有相同的值。

设 2 (t) = F2(t, q(t), p'(t)) 是 F2 沿时间 t 的路径 q 和 p' 的值。2 的导数为

其中我们在第一项中使用了用 F2 表示的 p 关系。利用哈密顿-雅可比方程 (5.360)，这变为

在可实现路径上，我们有 Dp'(t) = 0，因此沿可实现路径，F2 的时间导数与沿路径的拉格朗日量相同。沿任意路径的拉格朗日量的时间积分就是沿该路径的作用量。这意味着，在可能在可实现路径上为常数但可能是变换后的相空间坐标 q' 和 p' 的函数的可加项范围内，求解哈密顿-雅可比方程的 F2 与可实现路径的拉格朗日作用量具有相同的值。

同样的结论也适用于用 F1 表述的哈密顿-雅可比方程。在可能在可实现路径上为常数但可能是变换后的相空间坐标 q' 和 p' 的函数的可加项范围内，求解相应哈密顿-雅可比方程的 F1 与可实现路径的拉格朗日作用量具有相同的值。

回顾由 F2 型生成函数给出的变换也可以由与其通过勒让德变换相关联的 F1 型生成函数给出（见方程 5.195）：

前提是变换是非奇异的。在这种情况下，q' 和 p' 在可实现路径上都是常数，因此使 F1 和 F2 等于拉格朗日作用量的可加常数相差 q' p'。

练习 5.25. 谐振子

让我们为谐振子验证这一点（当然）。

a. 完成积分 (5.371)：

用振幅 A = (2E(p')/k)1/2 写出结果。

b. 检查这个生成函数是否给出了变换

这与方程 (5.373) 相同，只需取特定的积分常数。变换的另一部分是

其中 A 的定义与之前相同。

c. 计算相应的 F2 在可实现路径上（Dp'(t) = 0）的时间导数，并与可实现路径上的拉格朗日量进行比较。

5.8.4 作用量生成时间演化

我们定义函数 (t1, q1, t2, q2) 为可实现路径 q 的作用量值，使得 q(t1) = q1 且 q(t2) = q2。因此 满足

对于在端点处不一定为零的变分 以及可实现路径 q，作用量的变分为

或者，方程 (5.409) 中 S[q] 的变分给出

比较方程 (5.410) 和 (5.411)，并利用变分 的任意性，我们得到

对坐标变量的偏导数给出动量。抽象掉路径后，我们有

这看起来有点像 F1 型生成函数关系，但这里有两个时间。

给定一个可实现路径 q，使得 q(t1) = q1 且 q(t2) = q2，我们得到关于时间槽的偏导数：

因此

类似地

这些是一对哈密顿-雅可比方程，在路径的端点处计算。将方程 (5.413) 对 q2 和 p2 求解为 t2 和初始状态 t1、q1、p1 的函数，我们得到用 表示的系统时间演化。函数 生成时间演化。

函数 可以用求解哈密顿-雅可比方程的 F2 或 F1 来写出。我们可以利用哈密顿-雅可比方程的 F2 解，将状态 (t1, q1, p1) 在给定时间 t1 用常数 q' 和 p' 表示，从而计算时间演化。然后我们可以执行从 q' p' 回到不同时间 t2 处的原始状态变量的后续变换，给出状态 (t2, q2, p2)。正则变换的复合是正则的。复合的生成函数是每一步生成函数之差：

附带条件

这允许我们消去 p'。

练习 5.26. 匀加速运动

a. 计算匀加速粒子的拉格朗日作用量，作为端点和时间的函数。利用它从给定的初始状态构造时间演化的正则变换。

b. 求解匀加速粒子的哈密顿-雅可比方程，得到使变换后哈密顿量为零的 F2。证明拉格朗日作用量可以表示为两次应用该 F2 的差。