5.7 时间演化是正则的

在本节中，我们证明时间演化生成一个正则变换：如果我们考虑一个哈密顿系统的所有可能初始状态，并追踪所有轨迹经过相同的时间间隔，那么从每个轨迹的初始状态到最终状态的映射就是一个正则变换。

我们利用时间演化来生成一个变换

它以如下方式得到。设 (t) = (t, (t), (t)) 是哈密顿方程的一个解。变换 满足

或者等价地，

注意到 改变了时间分量。这是我们考虑过的第一种此类变换。24

给定一个状态 (t', q', p')，我们找出从该状态作为初始条件出发的相空间路径 ，满足

那么 (t', q', p') 的值 (t, q, p) 就是 (t' + , (t' + ), (t' + ))。

时间演化是正则的，如果变换 是辛的，并且哈密顿量以适当的方式变换。变换 是辛的，如果双线性反对称形式 对于具有零时间分量的一对一般线性化状态变分是不变的（见方程 5.73）。

设 ' 是状态 (t', q', p') 的一个具有零时间分量的增量。(t', q', p') 值的线性化增量是 = D(t', q', p') '。该增量在变换下的像通过将增量乘以变换的导数得到。另一方面，该变换是通过时间演化得到的，因此该增量的像也可以通过线性化变分系统的时间演化来得到。令

是状态路径 (t) = (t, (t), (t)) 的变分；那么

辛条件要求

这对任意的 必须成立，因此如果以下量是常数，则条件满足：

我们计算其导数：

利用哈密顿方程，变分满足

将这些代入 DA 并整理各项，我们得到25

我们得出结论：时间演化生成了一个具有辛导数的相空间变换。

为了构成一个正则变换，我们必须指定哈密顿量如何变换。同一个哈密顿量描述了一个状态和一个时间推进后的状态的演化，因为后者只是另一个状态。因此变换后的哈密顿量与原来的哈密顿量相同。

再论刘维尔定理

我们之前通过证明相流散度为零并利用运动方程（见第 3.8 节），推导出相空间体积被时间演化所保持。我们也可以利用时间演化是正则变换这一事实，证明相空间体积被时间演化所保持。

我们已经证明相空间体积被辛变换所保持。现在我们证明了由时间演化生成的变换是辛变换。因此，由时间演化生成的变换保持相空间体积。这是刘维尔定理的另一个证明。

另一种时间演化变换

还有另一种可以从时间演化构造的正则变换。我们定义变换 ' 使得

其中 S(a, b, c) = (a + , b, c) 是对相空间状态的时间偏移。26 更明确地说，给定一个状态 (t, q', p')，我们演化从 t 中减去 后得到的状态；也就是说，我们把状态 (t - , q', p') 作为哈密顿方程演化的初始状态。状态路径 满足

变换的输出是状态

该变换满足

' 的参数不是一个自洽的相空间状态；时间参数必须减去 才能得到一个自洽的状态。该变换通过演化这个自洽的状态来完成。

为什么这是一个好主意？我们通常的正则变换不改变时间分量。因此这个修改后的时间演化变换属于之前讨论过的形式。由此得到的时间演化变换是正则的，并且具有通常的形式：

这个变换也可以扩展为一个正则变换，只需对哈密顿量做适当的调整。在变换后的相空间点上给出正确哈密顿方程的哈密顿量 H' 是原始哈密顿量与一个将自变量减去 的函数的复合：

或者

注意，如果 H 是时间无关的，那么 H' = H。

假设我们有一个过程 C 使得 ((C delta-t) state) 实现了状态 state 在时间间隔 delta-t 上的时间演化变换 ；那么过程 Cp 使得 ((Cp delta-t) state) 实现了同一状态在相同时间间隔上的 ' 变换，可以通过过程 C 利用以下过程推导出来：

(define ((C->Cp C) delta-t)
  (compose (C delta-t) (shift-t (- delta-t))))

其中 shift-t 实现了 S：

(define ((shift-t delta-t) state)
  (up 
   (+ (time state) delta-t)
   (coordinate state)
   (momentum state)))

为了完成正则变换，我们有一个变换哈密顿量的过程：

(define ((H->Hp delta-t) H)
  (compose H (shift-t (- delta-t))))

因此， 和 ' 都可以用于构造正则变换，只需指定新旧哈密顿量之间的关系即可。对于 ，哈密顿量不变。对于 '，哈密顿量被时间平移。

练习 5.21. 验证 对于 ，哈密顿方程被保持的条件 (5.19) 是

对于 '，哈密顿方程被保持的条件是

验证这些条件得到满足。

练习 5.22. 受驱谐振子 我们可以用简单的受驱谐振子来说明时间演化产生一个辛变换，该变换可以以两种方式扩展为正则变换。我们使用受驱谐振子是因为它的解可以紧凑地表示为显式形式。

假设我们有一个固有频率为 0 的谐振子，受到频率为 、振幅为 的周期正弦驱动力。我们将考虑的哈密顿量为

对于给定初始状态 (t0, q0, p0) 演化时间 后的通解是

其中 ' = /(02 - 2)。

a. 补充过程

(define (((C alpha omega omega0) delta-t) state)
   ... )

的细节，该过程实现了受驱谐振子的时间演化变换。

b. 用 C 表示，从给定状态出发的通解是

(define (((solution alpha omega omega0) state0) t)
  (((C alpha omega omega0) (- t (time state0))) state0))

检查 C 的实现是否正确，方法是利用它构造解并验证该解满足哈密顿方程。进一步通过与数值积分比较来检查该解。

c. 我们知道，对于任何相空间状态函数 F，该函数沿解路径 的变化率是

通过编写一个简短的程序进行测试，证明这对由 (C delta) 实现的函数对于受驱谐振子成立。为什么这很有趣？

d. 使用 symplectic? 验证 C 和 Cp 都是辛的。

e. 使用过程 canonical? 验证 C 和 Cp 在适当的变换后哈密顿量下都是正则的。

5.7.1 时间演化的另一视角

我们也可以利用庞加莱-卡坦积分不变量来证明时间演化生成正则变换。

考虑相空间坐标中的一个二维区域 R'，在某个特定时刻 t'（见图 5.8）。设 R 是该区域在时间 t 经过时间间隔 的时间演化后的像。时间演化由哈密顿量 H 支配。令 sumi Ai 为 R 在基本正则平面上投影的有向面积之和。27 类似地，令 sumi A'i 为 R' 的有向投影面积之和。我们将证明 sumi Ai = sumi A'i，因此庞加莱积分不变量被时间演化所保持。通过证明庞加莱积分不变量被保持，我们也就证明了由时间演化生成的变换的 qp 部分是辛的。由此我们可以像之前一样从时间演化构造正则变换。

在扩展相空间中，我们看到演化扫过一个柱体体积，其两端为 R' 和 R，各处于固定时刻。设 R'' 是由将区域 R' 的边界映射到区域 R 的边界的轨迹所扫过的二维区域。区域 R、R' 和 R'' 共同构成了相态空间一个体积的边界。

在整个边界上的庞加莱-卡坦积分不变量为零。28 因此

其中 n 指标表示 t、pt 正则平面。第二项为负，因为在扩展相空间中，我们取面积为正的条件是曲面的法向量指向外。

我们将证明，由时间演化生成的相空间区域上的庞加莱-卡坦积分不变量为零：

这将使我们能够得出结论

R 和 R' 在 t、pt 平面上的投影面积为零，因为 R 和 R' 处于恒定时间，因此对于这些区域，庞加莱-卡坦积分不变量与庞加莱积分不变量相同。因此

我们只需证明区域 R'' 上的庞加莱-卡坦积分不变量为零即可。如果 R'' 的任意小块的贡献为零，则总贡献为零。我们将通过证明此区域中一个小平行四边形上的 形式（见方程 5.71）为零来证明这一点。设 (0; q, t; p, pt) 是该平行四边形的一个顶点。该平行四边形由从此顶点出发的两条边 1 和 2 确定，其分量为 (0; q, t; p, pt)。对于平行四边形的边 1，我们取一个恒定时间的相空间增量，在 q 和 p 方向上的长度分别为 q 和 p。与这些变化相对应的哈密顿量的一阶变化为

对于恒定时间 t = 0。增量 pt 是 H 的负值。因此扩展相空间增量为

边 2 通过将顶点时间演化时间间隔 t 得到。利用哈密顿方程，我们得到

将这些构成平行四边形边界的增量状态应用于 形式，得到该平行四边形的面积：

因此我们可以得出结论：该表达式在整个轨迹管曲面上的积分也为零。因此，对于任何由时间演化生成的区域，庞加莱-卡坦积分不变量为零。

在证明了轨迹管不提供贡献之后，我们证明了两个端面的庞加莱积分不变量相同。这证明时间演化生成了一个辛的 qp 变换。

截面图的面积保持

我们可以利用庞加莱-卡坦不变量证明，对于自治的两自由度系统，（适当构造的）截面图保持面积。

为了证明这一点，我们考虑一个坐标（设为 q2）为零的截面图。我们通过累积 (q1, p1) 对来构造该截面。我们假设所有初始条件具有相同的能量。我们再次计算扩展相空间中正则投影的面积之和。由于所有初始条件具有相同的 q2 = 0，在 q2、p2 平面上没有面积；又由于所有轨迹具有相同的哈密顿量值，在 t、pt 平面上的投影面积也为零。因此投影面积之和就是截面图上区域的面积。现在让截面图上的每个点演化到下一个截面穿越。对于截面上的每个点，这可能需要不同的时间长度。再次计算映射后区域的面积之和。同样，映射后区域的所有点具有相同的 q2，因此在 q2、p2 平面上的面积为零；并且它们继续具有相同的能量，因此在 t、pt 平面上的面积也为零。因此映射后区域的面积再次等于截面图的面积，即 q1、p1 平面的面积。时间演化保持面积之和，因此截面图的面积与映射后的面积相同。

因此，只要截面点完全位于一个正则平面上，截面图就保持面积。例如，为了制作埃农-海耶斯截面图（见第 3.6.3 节），我们在 x = 0 且 px > 0 时绘制 py 相对于 y 的曲线。因此对于所有截面点，x 坐标具有固定值 0，所有轨迹具有相同的能量，并且累积的点完全位于 y、py 正则平面中。因此埃农-海耶斯截面图保持面积。

5.7.2 时间演化的又一种视角

我们可以直接从作用量原理证明时间演化生成一个辛变换。

回顾拉格朗日作用量 S 为

我们在推导拉格朗日方程时计算了作用量的变分。该变分为（见方程 1.33）

用欧拉-拉格朗日算符 E 重写。在推导拉格朗日方程时，我们只考虑了保持被测试路径端点不变的变分。然而，方程 (5.347) 对于任意变分都成立。这里我们考虑在可实现的路径 q（即满足 E [ L ] o [q] = 0 的路径）的端点处不为零的变分。对于这些变分，作用量的变分就是积分出来的项：

回忆 p 和 是结构体，乘积意味着各分量乘积之和。

考虑一个连续的可实现路径族；参数为 s 的路径是 (s)，该路径在时间 t 的坐标是 (s)(t)。我们定义 (s) = D(s)；沿该族路径的变分是参数化路径对参数的导数。令

是从 t1 到 t2 沿路径 (s) 的作用量值。沿这个参数化路径族的作用量的导数为29

因为 (s) 是一个可实现路径，E[L] o [(s)] = 0。所以

其中 (s) 是 (s) 的共轭动量。D 的积分是

其中

用传统记号，后面的线积分写作

其中 1(s) = (s)(t1) 且 2(s) = (s)(t2)。

对于环状路径族（使得 (s2) = (s1)），端点处作用量的差为零，因此我们推导出

这就是积分不变量的线积分形式。

用面积积分的形式，利用斯托克斯定理，这就是

其中 Rij 是第 i 个正则平面中的区域。我们发现时间演化保持积分不变量，因此时间演化生成一个辛变换。