5.9 李变换

系统在任何哈密顿量下的演化都会生成一个连续的正则变换族。为了研究由哈密顿量 H 支配的某个系统的行为，有时使用由同一相空间上的另一个类哈密顿量函数 W 支配的演化所生成的正则变换是合适的。这样的正则变换称为李变换。

函数 H 和 W 都是定义在同一相空间上的类哈密顿量函数。由 H 支配的时间间隔 的演化是一个正则变换 ，H。由 W 支配的时间间隔 的演化是一个正则变换 '，W：

H 演化中的自变量是时间，而 W 演化中的自变量是正则变换的一个任意参数。我们为 W 演化选择了 '，使得由 W 诱导的正则变换不改变由 H 支配的系统中的时间。

图 5.9 展示了如何使用李变换来变换一条轨迹。从图中可以看出，正则变换满足关系

对于不依赖于自变量的生成元 W，生成的正则变换 '，W 是时间无关且辛的。一个时间无关的辛变换是正则的，如果哈密顿量通过复合来变换：32

我们将只使用生成元不依赖于自变量的李变换。

函数的李变换

相空间函数 F 的值会因其参数的变化而改变。我们定义函数 E'，W 作用于相空间坐标 (t, q, p) 的函数 F 如下：

我们说 E'，W F 是函数 F 的李变换。

特别地，李变换推进了坐标和动量选择函数 Q = I1 和 P = I2：

因此我们可以将方程 (5.422) 重述为

更一般地，李变换深入到复合中：

用 E'，W 表示，我们有正则变换

我们也可以说

其中 I 是相空间恒等函数：I(t, q, p) = (t, q, p)。

注意 E'，W 具有性质：33

恒等函数 I 是

我们可以定义逆函数

具有性质

简单李变换

例如，假设我们正在研究一个系统，旋转变换对其将很有帮助。为了构造这样的变换，我们注意到我们希望一个位形坐标以给定的速率均匀增加。在这种情况下，我们希望一个角度得到增量。仅由与该位形坐标共轭的动量构成的哈密顿量总能完成这项工作。因此角动量是旋转变换的合适生成元。

如果我们使用极坐标 r、 以及共轭动量 pr、p，分析就很简单。生成元 W 就是：

变换族满足哈密顿方程：

W 中出现的唯一变量是 p，因此 是随着 变化而唯一变化的变量。事实上，正则变换族是

因此角动量是正则旋转的生成元。

这个例子很简单，但它说明了李变换的一个重要特征——它们用一组变量完全表示另一组变量。这与混合变量生成函数变换形成对比，后者总是给出新旧变量的混合，因而需要反演才能得到一组变量用另一组变量表示的形式。这种反演只有在特殊情况下才能写成闭合形式。一般来说，使用从开始就生成显式变换的变换规则具有相当大的优势。李变换在某种意义上总是显式的，因为它们给出了一组变量用另一组变量的表示，但要得到显式表达式，生成元支配的演化必须是可解的。

让我们考虑另一个例子。这次考虑一个在直角坐标中的三自由度问题，取变换的生成元为角动量的 z 分量：

演化方程为

我们注意到 z 和 pz 不变，并且控制 x 和 y 演化的方程与 px 和 py 的方程解耦。这些方程对中的每一对都表示简谐运动，这可以通过将它们写成二阶系统来看出。解为

所以我们再次看到角动量的一个分量生成一个正则旋转。我们的坐标轴选择没有任何特殊之处，因此我们可以推断，绕任何轴的角动量分量都生成绕该轴的旋转。

示例

假设我们有一个由哈密顿量支配的系统

哈密顿方程将 x 和 y 的运动耦合起来：

我们可以通过执行一个 /4 的坐标旋转来解耦系统。这是由

生成的，它与上述坐标旋转的生成元类似，但没有 z 自由度。将 (; x, y; px, py) 在 W 下演化 /4 间隔给出一个正则旋转：

将哈密顿量 H 与该时间无关变换复合，得到新的哈密顿量

这是一个两个解耦谐振子的哈密顿量。因此原始的耦合问题已通过李变换转换为一个形式简单、易于求解的问题。