5.6 生成函数

我们已经考虑了广义正则变换的许多性质，但还没有给出构造它们的一般方法。这里我们介绍生成函数的方法。生成函数是一个实值函数，通过其偏导数紧凑地指定一个正则变换，具体如下。

考虑一个实值函数 F1(t, q, q')，它将用两个坐标系表示的构型映射到实数。我们将使用 F1 从一个坐标系到另一个坐标系构造一个正则变换。我们将证明坐标、动量和哈密顿量之间的下列关系指定了一个正则变换：

然后变换将通过求解一组变量用另一组变量表示而显式给出：要得到用未带撇变量表示的带撇变量，令 A 为 1 F1 关于第三个参数的逆，

然后

令 B 为相空间变换 q = B(t, q', p') 的坐标部分。这个 B 是 2 F1 的反函数，满足

使用 B，我们有

要使变换以显式形式给出，需要反函数 A 和 B 存在。

我们可以使用上述关系来验证从一组相空间坐标 (q, p) 及哈密顿函数 H(t, q, p) 到另一组相空间坐标 (q', p') 及哈密顿函数 H'(t, q', p') 的给定变换是正则的，通过找到一个 F1(t, q, q') 使得上述关系满足。我们也可以使用任意选择的 F1 型生成函数来生成新的正则变换。

极坐标-直角坐标正则变换

从坐标和动量 (x, px) 到新坐标和新动量 (, I) 的极坐标-直角坐标正则变换 (5.32)，

之前介绍过，是正则的。这也可以通过找到一个合适的 F1 生成函数来证明。该生成函数满足一组偏微分方程 (5.147) 和 (5.148)：

使用指定正则变换的关系式 (5.156) 和 (5.157)，方程 (5.158) 可以改写为

这很容易积分得到

其中 是关于第一次积分的某个积分“常数”。将此 F1 的形式代入第二个偏微分方程 (5.159)，我们发现

但我们看到，如果设 = 0，则所需的关系得以恢复。因此，生成函数

生成了极坐标-直角坐标正则变换。这表明该变换是正则的。

5.6.1 F1 生成正则变换

我们可以直接证明由 F1 生成的变换是正则的，通过证明如果在一组坐标中满足哈密顿方程，那么在另一组坐标中也将满足哈密顿方程。令 F1 以 (t, x, y) 为参数。坐标之间的关系为

哈密顿量之间的关系为

将生成函数关系 (5.164) 代入该方程，我们有

取这个表达式等式关于变量 x 和 y 的偏导数：17

其中参数是明确的并已被省略。在解路径上，我们可以使用 (x, px) 系统的哈密顿方程，用 x 和 px 的导数替换 H 的偏导数，得到

现在，沿着相容路径，从方程 (5.164) 计算 px 和 py 的导数：

将第一个代入方程 (5.168) 的第一个，得到

注意 (2 (1 F1)i)j = (1 (2 F1)j)i。只要 2 1 F1 是非奇异的，18 我们就推导出了 (y, py) 系统的一个哈密顿方程：

哈密顿的另一个方程，

可以用类似的方式推导。因此，生成函数关系确实指定了一个正则变换。

我们证明的是该变换是正则的，这意味着运动方程以适当的方式变换；我们尚未证明变换的 qp 部分是辛的。如果变换是不含时的，那么哈密顿量通过复合变换，在这种情况下我们知道正则意味着辛。

5.6.2 生成函数与积分不变量

生成函数可以通过上面给出的规则用来指定一个正则变换。我们已经证明生成函数规则给出了一个正则变换。这里我们展示如何从正则变换得到生成函数，并推导生成函数规则。

正则变换的生成函数表示可以从庞加莱积分不变量推导出来。概要如下。我们首先证明，给定一个正则变换，积分不变量蕴含存在一个相空间坐标的函数，该函数可以写为与路径无关的线积分。然后我们证明，用混合坐标表示的该函数的偏导数给出了新旧坐标之间的生成函数关系。我们只需要对不含时变换做此推导，因为含时变换在扩展相空间中变成了不含时变换。

F1 型生成函数

回顾第 5.3 节关于积分不变量的结果。那里我们发现

其中 R' 是 (q', p') 坐标中在时间 t 的一个二维区域，R = Ct(R') 是 (q, p) 坐标中的对应区域，并且 R 表示区域 R 的边界。这对任何区域及其边界都成立。我们将证明这意味着存在一个函数 F(t, q', p')，它可以用线积分来定义

其中 ' 是相空间坐标中的一条曲线，起始于 '(0) = (q'0, p'0)，终止于 '(1) = (q', p')，而 是它在 Ct 下的像。

令

并令 '1 和 '2 是具有相同端点的两条路径。那么

因此 Gt(') 的值仅取决于 ' 的端点。

令

其中 ' 是从 q'0, p'0 到 q', p' 的任意路径。将初始点从 q'0 p'0 改为 q'1 p'1 会改变 的值一个常数：

因此我们可以定义 F 使得

证明了方程 (5.174)。

未带撇变量中的相空间点 (q, p) 对应于带撇变量中的 (q', p')，在任意时间 t。给定 q' 和 p'，p 和 q 都确定。一般来说，给定这四个量中的任意两个，我们可以求解另外两个。如果我们能够用位置表示动量，就得到一类特定的生成函数。19 我们引入函数

用于求解变换方程 (t, q, p) = C(t, q', p')，以在指定时刻用坐标表示动量。利用这些我们引入一个函数 F1(t, q, q') 使得

函数 F1 与 F 有相同的值但参数不同。我们将证明这个 F1 实际上就是第 5.6 节中介绍的正则变换的生成函数。让我们明确地给出 F1 用线积分表示的定义：

这两条线积分可以合并为这一条，因为它们都表示为沿 (q, q') 中曲线的积分。

我们可以利用 F1 的路径无关性来计算 F1 关于特定分量的偏导数，从而推导出动量的生成函数关系。20 因此我们得出结论

这些正是正则变换的生成函数关系的构型和动量部分。因此，从一个正则变换出发，我们可以找到一个生成函数，通过其导数给出变换的坐标-动量部分。

从一个一般的正则变换出发，我们构造了一个 F1 生成函数，正则变换可以由其重新导出。因此我们期望每个正则变换都有一个生成函数。21

F2 型生成函数

点变换被排除在先前的论证之外，因为我们无法从坐标推导出动量。然而，类似的推导允许我们为这种情况构造一个生成函数。积分不变量给出了面积积分的等式。将面积相等关系 (5.83) 写为线积分还有其他方式。我们也可以写出

负号的出现是因为通过翻转轴，我们以相反的方向遍历面积。重复刚才的论证，我们可以定义一个函数

该函数与路径 ' 无关。如果我们能用 q 和 p' 求解 q' 和 p，我们可以定义函数

并定义

那么正则变换由 F2 的偏导数给出：

以及

F1 与 F2 之间的关系

对于既可以用 F1 也可以用 F2 描述的规范变换，它们之间必定存在某种关系。面积积分的交替线积分表达式是相关的。考虑差

函数 F 和 F' 通过一个积分项相关联

F1 和 F2 也是如此：

生成函数 F1 和 F2 通过勒让德变换相关联：

我们有被动变量 q 和 t：

但根据第一个变换 p = 1 F1(t, q, q')，所以

此外，由于 H'(t, q', p') - H(t, q, p) = 0 F1(t, q, q')，我们可以得出结论

5.6.3 生成函数的类型

总结一下，我们使用 F1 型生成函数来构造正则变换：

我们也可以使用 F2(t, q, p') 形式的生成函数来表示正则变换，其中 F2 的第三个参数是带撇系统中的动量。22

与 F1 的情况一样，要以显式形式给出变换，需要构造适当的反函数以允许对方程求解。

类似地，我们可以构造另外两种形式的生成函数，助记地命名为 F3 和 F4：

以及

在每种情况下，如果生成函数不显式依赖于时间，那么哈密顿量纯粹通过与相应的正则变换复合得到。如果生成函数依赖于时间，则存在附加项。

所呈现的生成函数整体地处理坐标和动量。人们可以定义更复杂的生成函数，其中每个自由度的变换由不同类型的生成函数指定。

扩展相空间中的生成函数

我们可以用混合变量生成函数表示正则变换。我们可以将其扩展到表示扩展相空间中的变换。令 F2 是一个以 (t, q, p') 为参数的生成函数。那么，扩展相空间中相应的 Fe2 可以取为

坐标与动量之间的关系与之前相同。我们还有

第一个方程给出了原始哈密顿量之间的关系：

符合要求。我们知道不含时正则变换具有辛的 qp 部分。含时变换的生成函数表示不依赖于扩展相空间中的独立变量。因此，在扩展相空间中，变换的 qp 部分（包括时间和时间的共轭动量）是辛的。

5.6.4 点变换

点变换可以用 F2 型生成函数来表示。方程 (5.6) 定义了从坐标变换 F 导出的规范点变换：

令 S 为 F 关于第二个参数的逆变换

使得 q' = S(t, F(t, q'))。伴随这个坐标变换的动量变换为

我们可以通过积分方程 (5.204) 找到给出此变换的生成函数 F2，得到

将其代入方程 (5.204)，我们得到

我们不需要 提供的自由度，因此可以将其设为零：

其中

因此这个 F2 给出了方程 (5.217) 和 (5.218) 的正则变换。

坐标变换 S 的正则变换是 F 的正则变换的逆。根据设计，F 和 S 在坐标参数上是互逆的。恒等函数是 q' = I(q') = S(t, F(t, q'))。求导得

所以

利用这一点，动量之间的关系 (5.222) 为

表明 F2 给出了一个等价于点变换 (5.216) 的点变换。因此，从另一个观点来看，我们看到点变换是正则的。

对应于点变换的 F2 的 F1 为

极坐标与直角坐标

一个常用的点变换是极坐标与直角坐标之间的转换：

利用刚刚导出的点变换的生成函数公式，我们得到：

因此完整的变换推导如下：

我们可以将直角坐标放在变换的一边，极坐标放在另一边：

因此，用牛顿向量解释，pr = · 是线性动量的径向分量，p = || × || 是角动量的大小。该点变换是不含时的，因此哈密顿量通过复合变换。

旋转坐标

一个有用的含时点变换是到旋转坐标系的变换。这在极坐标中最容易实现。这里我们有

其中 是旋转坐标系的角速度。生成函数为

这给出了变换方程

表明在两个坐标系中动量是相同的。然而，哈密顿量不再是简单的复合：

哈密顿量相差生成函数对时间参数的导数。在变换到旋转坐标时，哈密顿量的值相差角动量与坐标系角速度的乘积。注意，这个哈密顿量的增量与之前 (5.57) 中发现的相同。

练习 5.14. 扩展相空间中的旋转坐标 在扩展相空间中，时间是坐标之一。使用扩展相空间中的 F2 型生成函数，执行到旋转坐标的变换。将通过复合得到的哈密顿量与变换到哈密顿量 (5.234) 进行比较。

两体问题

在这个例子中，我们说明如何使用正则变换消除部分自由度，留下一个自由度更少的本质问题。

假设只有某些坐标的组合出现在哈密顿量中。我们做一个正则变换，到一组新的相空间坐标，使得旧相空间坐标的这些组合是某些新相空间坐标。我们选择其他独立的坐标组合来完成这组坐标。这样做的好处是，这些其他独立坐标不出现在新的哈密顿量中，因此它们的共轭动量是守恒量。

让我们看看这个想法如何使我们能够将两个引力体的问题简化为两个物体相对运动的更简单问题，同时在此过程中发现质心动量是守恒的。

考虑两个质量 m1 和 m2 的运动，仅受由势能 V(r) 描述的相互引力吸引。这个问题有六个自由度。粒子的直角坐标为 x1 和 x2，共轭动量为 p1 和 p2。每一个都是三个直角分量的结构。粒子之间的距离为 r = || x1 - x2 ||。两体问题的哈密顿量为

此时我们不需要进一步指定 V。

我们注意到，出现在哈密顿量中的坐标的唯一线性组合是 x2 - x1。我们选择新坐标，使得其中一个新坐标是这个组合：

为了完成这组新坐标，我们选择另一个独立的线性组合

其中 a 和 b 待定。我们可以使用 F2 型生成函数

其中 p 和 P 将分别是 x 和 X 的共轭新动量。我们推导出

我们可以解出这些新动量：

生成函数不依赖于时间，因此新的哈密顿量是旧哈密顿量与变换的复合：

定义

以及

我们认出 µ 是通常的“约化质量”。

注意，如果正比于 p P 的项不存在，那么 x 和 X 自由度将完全不耦合，此外，X 部分的哈密顿量将只是一个自由粒子的哈密顿量，这很容易求解。“交叉项”消失的条件是

这由以下条件满足

对任意 c。要定义变换，c 必须非零。因此，通过这个选择，哈密顿量变为

其中

以及

约化质量与之前相同，现在

注意，在不进一步指定 c 的情况下，问题已经被分离为确定两个质量的相对运动的问题，以及其他自由度的问题。我们并不需要预先知道质心可能很重要；事实上，仅对于 c = (m1 + m2)-1 的特定选择，X 才成为质心。

本轮运动

通常，将一系列正则变换组合起来构成我们为任何特定力学问题所需的变换是很有用的。我们提供的变换在这些计算中作为组成部分特别有用。

我们将说明如何使用正则变换来了解中心场中的平面运动。策略是考虑中心场中圆形运动的扰动。分析将通过变换到一个搭载在圆形参考轨道上的旋转坐标系来进行，然后进行近似，将分析限制在与圆形轨道只有微小差异的轨道上。

在直角坐标中，我们可以轻松写出质量为 m 的粒子在仅依赖于到原点距离的势能所定义的场中运动的哈密顿量如下：

在这个坐标系中，哈密顿方程很简单，并且正是通过数值积分发展轨迹所需要的，但其表达式并不太有启发性：

通过转换到以场源为中心的极坐标，我们可以学到更多：

这个坐标系明确地包含了势能的几何对称性。将这个坐标变换扩展为点变换，我们可以写出新的哈密顿量为：

我们现在可以写出这些新坐标中的哈密顿方程，它们比用直角坐标表示的方程更具启发性：

我们看到角动量 p 是守恒的，我们可以自由选择其常数值，因此 D 仅依赖于 r。我们还看到，我们可以在任意半径 R0 处建立圆形轨道：我们选择 p = p0 使得 p 02/(m R03) - DV(R0) = 0。这将确保 Dpr = 0，从而 Dr = 0。这个圆形轨道的角速度（的平方）为

考虑接近圆形轨道的轨道与圆形轨道的差异是具有启发性的。这最好在旋转坐标系中进行，在该坐标系中，沿圆形轨道运动的物体是原点上的一个静止点。我们可以通过转换到以圆形轨道角速度旋转并以轨道物体为中心的坐标系来实现。我们分三个阶段进行。首先，我们将变换到一个以角速度 旋转的极坐标系。然后，我们将回到直角坐标，最后，我们将平移坐标，使原点位于参考圆形轨道上。

我们从在旋转极坐标中检查系统开始。这是一个含时坐标变换：

利用方程 (5.234)，我们可以直接写出新的哈密顿量：

我们看到 H'' 不依赖于时间，因此它是守恒的，但它不是能量。在移动坐标系中能量不守恒，但这里守恒的是一个新量，它将能量与粒子在新坐标中的角动量和坐标系角速度的乘积结合起来。我们将需要跟踪这一项。

接下来，我们回到直角坐标，但这些坐标是随着参考圆形轨道旋转的：

哈密顿量为

经过又一次快速操作，我们将坐标系平移，使原点位于我们的圆形轨道上。我们通过以下简单的坐标和动量正则变换定义新的直角坐标 和 ：

在这个最终坐标系中，哈密顿量为

并且哈密顿方程复杂得毫无用处，但下一步是只考虑坐标 和 与 R0 相比很小的轨迹。在这个假设下，我们将能够为这些轨迹构造坐标线性的近似运动方程，从而得到简单可分析的运动。到目前为止，我们还没有做任何近似。上述方程对于中心场中的任何轨迹都完全精确。

思路是将哈密顿量中的势能项展开为级数，并丢弃任何高于坐标二阶的项，从而给出一阶精度的哈密顿方程：

因此（取负的）广义力为

通过这个展开，我们得到线性化的哈密顿方程：

当然，一旦我们有线性方程，我们就知道如何精确求解它们。因为线性化的哈密顿量是守恒的，我们无法得到指数增长或坍缩，因此可能的解非常有限。将这些方程转化为二阶系统是有启发性的。我们使用 2 = DV(R0)/(m R0)，方程 (5.263)，来消除 DV 项：

结合起来，我们发现

其中

因此我们有一个频率为 的简谐振子作为解的一个组成部分。通解包含三个部分：

其中

常数 0, 0, C0 和 0 由初始条件确定。如果 C0 = 0，感兴趣的粒子在圆形轨迹上，但不一定是与参考轨迹相同的轨迹。如果 C0 = 0 且 0 = 0，我们有一个“同行者”，即与参考轨道在同一圆形轨道上但相位不同的粒子。如果 C0 = 0 且 0 = 0，我们有一个粒子在参考轨道内部或外部的圆形轨道上，并从参考轨道剪切离开。剪切是由于圆形轨道的角速度随半径变化。常数 A 给出了每个半径处的剪切率。如果 0 = 0 且 0 = 0 但 C0 不等于 0，那么我们有“本轮运动”。一个在近圆形轨道中的粒子可以被视为在一个围绕圆形参考轨道的椭圆上运动。该椭圆将在圆周运动方向上被拉长因子 2 /，并将沿与圆周运动方向相反的方向旋转。本轮的初始相位是 0。当然，这些解的任意组合都可能存在。

本轮频率 和剪切率 A 由力定律（势能的径向导数）决定。对于与半径幂次成正比的力定律，

本轮频率与轨道频率的关系为

剪切率为

对于几个特定的整数力定律，我们看到：

n 0 1 2 3 4 5 (A/) 0 (1/4) (1/2) (3/4) 1 (5/4) (/) 2 (3)1/2 (2)1/2 1 0 ± i

通过观察几个例子，我们可以深入了解本轮近似产生的轨道类型。对于某些力定律，我们得到整数比的本轮频率与轨道频率。在这些情况下，我们得到闭合轨道。对于平方反比力定律（n = 3），我们得到椭圆轨道，场源位于椭圆的一个焦点上。图 5.3 展示了如何通过将椭圆本轮上的运动与相同频率的圆周运动叠加来构造这种轨道的近似。如果力与半径成正比（n = 0），我们得到二维谐振子。这里本轮频率是轨道频率的两倍。图 5.4 展示了这如何产生以中心力场源为中心的椭圆轨道。当 / 是有理分数时，轨道是闭合的。如果力与半径的 -3/4 次幂成正比，本轮频率是轨道频率的 3/2 倍。这产生了图 5.5 中看到的三叶图案。对于其他力定律，该分析预测的轨道是由进动的近似椭圆产生的多叶图案。大多数情况下，本轮频率与轨道频率不可通约，导致轨道在有限时间内不闭合。

本轮近似给出了实际轨道外观的一个非常好的概念。图 5.6 通过对场中粒子的原始直角运动方程进行数值积分得到的轨道绘制而成，展示了 F = - r-2.3 力定律的不可通约本轮频率和轨道频率的特征性玫瑰花结图案。

我们可以直接将数值积分系统与我们的某个本轮近似进行比较。例如，对 F 正比于 r-3/4 系统进行数值积分的结果与我们从本轮得到的图案非常相似。（见图 5.7 并与图 5.5 比较。）

练习 5.15. 坍缩轨道 当力定律变得更陡时究竟会发生什么？通过绘制 r、pr 空间中不同力定律指数 n 的哈密顿量等高线来研究这一点。对于哪些 n 值存在稳定的圆形轨道？在没有稳定圆形轨道的情况下，圆形和其他非圆形轨道会发生什么？这些结果如何与刘维尔定理及哈密顿系统中吸引子不存在性相一致？

5.6.5 经典“规范”变换

向拉格朗日量中添加一个全时间导数会得到相同的拉格朗日方程。然而，两个拉格朗日量具有不同的动量，并导致不同的哈密顿方程。这里我们找出如何用生成函数表示相应的正则变换。

让我们重新陈述第一章中关于全时间导数和拉格朗日量的结果。考虑时间与坐标的某个函数 G(t, q)。我们已经证明，如果 L 和 L' 满足关系

那么拉格朗日运动方程是相同的。两个拉格朗日量中使用的广义坐标相同，但坐标的共轭动量不同。以通常的方式定义

以及

因此我们有

在轨迹上求值，我们有

这个变换是 F2 型变换的一个特例。令

那么相关的变换为

显式地，新的哈密顿量为

其中我们利用了 q = q' 这一事实。这个变换有趣之处在于，坐标变换是恒等变换，但新动量和旧动量并不相同，即使在 G 没有显式时间依赖性的情况下也是如此。假设我们有一个形如

的哈密顿量，那么变换后的哈密顿量为

我们看到这个变换可以用来修改哈密顿量中动量线性的项。从 H 出发，该变换引入线性动量项；从 H' 出发，该变换消除线性项。

我们用受驱摆来说明这个变换的使用。从 T - V 拉格朗日量导出的受驱摆的哈密顿量（见第 1.6.2 节）为

其中 ys 是驱动函数。哈密顿量相当混乱，且包含一项角动量的线性项，其系数同时依赖于角坐标和时间。让我们看看如果将我们的变换应用于问题以消除线性项会发生什么。我们可以通过要求消去动量中的线性项来识别变换函数 G：

变换后的动量为

变换后的哈密顿量为

去掉最后两项（它们不影响运动方程），我们得到

因此，通过一个直接的正则变换，我们为受驱摆找到了一个哈密顿量，其形式相当简单：一个重力加速度被枢轴加速度修改的摆。实际上，这正是我们之前通过观察找到的受驱摆拉格朗日量的另一种形式所对应的哈密顿量（见方程 1.120）。这里的推导是通过一个简单的正则变换，其动机是消除动量中不需要的线性项。

练习 5.16. 生成函数的构造

假设正则变换 Ca 和 Cb 分别由 F1 型生成函数 F1a 和 F1b 生成。

a. 证明 Ca 的逆变换的生成函数是 - F1a。

b. 证明复合变换 Ca o Cb 的生成函数是 F1a + F1b，利用生成函数不依赖于中间点这一事实。

练习 5.17. 线性正则变换 我们考虑具有两个自由度的系统以及哈密顿量通过复合变换的变换。

a. 考虑由以下函数生成的线性正则变换

证明这些变换就是点变换，且相应的 F1 为零。

b. 其他线性正则变换可以由以下函数生成

当然，我们还可以通过类似地构造 F3 和 F4 型变换来产生更多的生成函数。所有线性正则变换都能以这种方式得到吗？如果不能，请展示一个不能这样生成的变换。

c. 所有线性正则变换能否由上面 a 和 b 部分中所示函数生成的变换复合而成？

d. 对于具有两个自由度的系统，需要多少个独立参数来指定所有可能的线性正则变换？

练习 5.18. 积分不变量

考虑由以下函数生成的两个自由度系统的线性正则变换：

以及一个顶点在原点、相邻边从原点出发延伸到相空间点 (x1a, x2a, p1a, p2a) 和 (x1b, x2b, p1b, p2b) 的普通平行四边形。

a. 求给定平行四边形的面积以及该平行四边形在正则变换下的目标面积。注意，该平行四边形的面积不守恒。

b. 求给定平行四边形投影的面积以及该平行四边形在正则变换下目标投影的面积。证明在类作用平面上的投影面积之和是守恒的。

练习 5.19. 标准映射生成函数 求标准映射（见练习 5.5）的一个生成函数。

练习 5.20. 一个错误的推导 以下是对生成函数规则的一个错误推导。在阅读时，试着找出 bug。写一篇关于这个主题的文章。真正的问题是什么？

令 L 和 L' 为在两个坐标系中表达的拉格朗日量，其中路径分别为 q 和 q'。我们进一步假设 L 和 L' 在路径上的值相差一个在路径上求值的构型与时间函数的全时间导数。这个函数可以用两组坐标表示的路径来写出。考虑函数 F1(t, q, q')，以及它在时间 t 沿路径 1(t) = F1(t, q(t), q'(t)) 的值。1 的时间导数为

因此，拉格朗日量之间的关系为

现在用哈密顿量重新表达拉格朗日量

其中 p 由 t, q, 和拉格朗日量 L 确定。带撇函数也有类似的关系。让我们整理各项：

如果关系 (5.147-5.149) 成立，那么这些行中的每一行都独立为零，表面上验证了拉格朗日量相差一个全时间导数。如果这是真的，那么运动方程将保持不变，从而该变换已被证明是正则的。23

17 这里我们使用索引来选择结构化对象的特定分量。如果一个索引符号同时作为上标和下标出现在表达式中，则该表达式的值是该索引符号所有可能值的指定分量之和（爱因斯坦求和约定）。因此，例如，如果 和 p 的维数为 n，那么所示乘积 pi i 应解释为 i=0n-1 pi i。

18 如果结构的矩阵表示的行列式非零，则该结构是非奇异的。

19 点变换不在此类中：对于点变换，我们无法用位置表示动量，因为对于点变换，带撇和未带撇的坐标可以互相推导，因此坐标中没有足够的信息来推导动量。

20 令 F 定义为与路径无关的线积分

那么

F 的偏导数不依赖于常数点 x0 或从 x0 到 x 的路径，因此我们可以选择一条便于计算偏导数的路径。令

F 关于 F 的第 i 个分量的偏导数为

函数 H 由线积分定义

其中第二行是因为线积分是沿坐标方向 xi 进行的。这现在是一个普通积分，因此

21 可能存在一些奇异情况和拓扑问题阻止这一点严格成立。

22 各种生成函数传统上被命名为 F1、F2、F3 和 F4。请不要怪我们。

23 许多教材进一步混淆了这个问题，在此引入了一个不合理的独立性论证：他们认为因为 和 是独立的，关系 (5.147-5.149) 必须成立。这很愚蠢，因为 p 和 p' 分别是 和 的函数，因此在许多地方存在隐含的速度依赖关系，所以将方程的这些部分分别设为零是不合理的。然而，尽管存在这个问题，关于该变换是正则的推导仍然是荒谬的。