5.5 约化相空间

假设我们有一个具有 n + 1 个自由度的系统，由 (2n + 2) 维相空间中的一个不含时哈密顿量描述。这里我们可以玩一个反向的游戏：我们可以选择任意广义坐标来扮演“时间”的角色，并将其共轭动量的负值扮演一个新的 n 自由度含时哈密顿量的角色，该哈密顿量处于 2n 维的约化相空间中。

更精确地说，令

并假设我们有一个由不含时哈密顿量描述的系统

对于每条解路径，有一个守恒量 E。让我们选择一个坐标 qn 作为约化相空间中的时间。我们为 n 自由度约化相空间定义动力学变量：

在原始相空间中，像 qn 这样的坐标将时间映射到一个坐标。在约化相空间的表述中，我们将不得不使用反函数 = (qn)-1 将坐标映射到时间，从而给出用新时间表示的新坐标

因此

我们提出，约化相空间中的哈密顿量是 f(q0, ..., qn; p0, ..., pn) = E 关于 pn 参数的逆的负值：

注意，在约化相空间中，结构化变量的索引范围是 0 ... n - 1，而在原始相空间中，索引范围是 0 ... n。我们将证明 Hr 是约化相空间中给定动力学系统的适当哈密顿量。为了计算哈密顿方程，我们必须展开 Hr 的隐式定义。我们定义一个辅助函数

注意，根据构造，该函数恒等于常数 g = E。因此它的所有偏导数为零：

其中我们省略了参数。解出 Hr 的偏导数，我们得到

使用这些关系，我们可以从原始相空间中的哈密顿方程推导出约化相空间中的哈密顿方程：

中心场中的轨道

考虑中心场中的平面运动。我们已经在方程 (3.99) 中以极坐标形式看到过这个表达：

有两个自由度，哈密顿量是不含时的。因此，能量（哈密顿量的值）在可实现的路径上是守恒的。让我们忘记时间，用轨道半径 r 重新参数化这个系统。16 为此，我们求解

得到 pr，

这就是约化相空间中的哈密顿量。

哈密顿方程现在非常简单：

我们看到 p 不依赖于 r（正如它不依赖于 t 一样），因此对于任何特定的轨道，我们可以定义一个常数角动量 L。于是我们的问题归结为一个简单的求积：

为了看到这个过程的实用性，我们继续我们的例子，采用一个确定的势能——一个引力质点：

当我们将其代入方程 (5.139) 时，得到一个可以简化的混乱表达式，得到

积分后，我们得到另一个混乱表达式，可以简化并重新排列，得到以下结果：

这可以识别为极坐标形式的圆锥曲线方程，具有离心率 e 和半正焦弦 p：

其中

事实上，如果轨道是半长轴为 a 的椭圆，我们有

因此我们可以识别能量和角动量在形成椭圆中的作用：

从约化相空间中的分析得到的是轨迹的几何形状，但我们丢失了时域行为。这种约化往往是值得付出代价的。

虽然到目前为止我们以特殊方式处理了时间，但我们发现时间并不是特殊的。它可以被包含在坐标中，使受驱系统成为自治的。并且它可以从任何自治系统中被消去，代之以任何其他坐标。这导致了多种简化策略：去除时间变化，然后对所得保守自治系统执行正则变换，以得到一个好的坐标，然后我们可以将其放回时间的角色中。