5.4 扩展相空间

在本节中，我们将说明，如果我们愿意，可以将时间视为另一个坐标。由含时哈密顿量描述的系统可以重新表述为一个具有额外自由度的不含时哈密顿量。这种观点的一个优点是，原本的含时正则变换可以被视为不含时变换，其中没有调整哈密顿量的附加条件。

假设我们有一个由含时哈密顿量描述的系统，例如一个周期性驱动的摆。我们可以想象存在一个极其巨大的振子，它不受相对无质量的摆运动的扰动，产生驱动。事实上，我们可以将时间本身视为一个无限大质量粒子的坐标，该粒子均匀运动并驱动所有其他事物。在实验室中进行短时间实验时，我们通常将地球的旋转视为这样一种稳定的时间参考。

更形式化地，考虑一个具有 n 个自由度的动力学系统，其行为由可能含时的拉格朗日量 L 描述，对应的哈密顿量为 H。我们通过将广义坐标扩展为包括时间并引入一个新的独立变量，构造一个具有 n + 1 个自由度的新动力学系统。我们还将广义速度扩展为包含时间坐标的速度。在这个新的扩展状态空间中，坐标是冗余的，因此存在一个将时间坐标与新的独立变量联系起来的约束。

我们将原始动力学系统与扩展动力学系统关联如下：令 q 为一条坐标路径。令 qe,t : qe(),t() 为扩展系统中的一条坐标路径，其中 是新的独立变量。那么 qe = q o t，或 qe() = q(t())。因此，如果 v = Dq 是沿路径的速度，那么 ve() = D qe() = Dq(t()) · Dt() = v(t()) · vt()。

我们可以通过要求作用量的值不变来找到扩展系统的拉格朗日量。引入扩展拉格朗日作用量

其中

我们有

扩展系统受到一个约束，该约束将时间与新的独立变量联系起来。我们假设该约束的形式为 (; qe, qt; ve, vt) = qt - f() = 0。该约束是一个涉及坐标和时间的完整约束，因此我们可以通过增广拉格朗日量来纳入该约束：12

关于 L'e 的 qe 的拉格朗日方程对于路径 q o t 成立，其中 q 是满足 L 的原始拉格朗日方程的任何路径。

坐标的共轭动量为

因此，扩展动量在对应状态下与原始动量具有相同的值。时间坐标的共轭动量是能量加上 v 的负值。 的共轭动量是约束，必须为零。

接下来我们进行到相应哈密顿表述的变换。首先，注意到拉格朗日量 Le 是速度的一次齐次形式。因此，由欧拉定理，

对 Le' 进行勒让德变换的 p 部分为

因此，对应于 L'e 的哈密顿量 H'e 为

我们利用了在相应状态下动量具有相同值的事实，因此在路径 pe = p o t 上，有

哈密顿量 H'e 不依赖于 ，因此我们推断 p 是常数。实际上，必须给 p 赋值为零，因为它是约束。当存在循环坐标时，我们可以通过将守恒的共轭动量的常数值代入哈密顿量，为剩余的自由度形成一个约化哈密顿量。得到的哈密顿量为

此扩展哈密顿量支配扩展系统的演化，对于任意的 f 均成立。13

哈密顿方程约化为

第二个方程给出了 t 和 之间所需的关系。第一个和第三个方程等价于原始坐标中的哈密顿方程，正如我们可以通过使用 qe = q o t 重写它们所看到的那样：

使用 Dt() = Df() 并消去这些因子，我们恢复哈密顿方程。14

现在考虑时间与独立变量相同的特殊情况：f() = ，Df() = 1。在这种情况下，q = qe 且 p = pe。扩展哈密顿量变为

关于 t 的哈密顿方程变为 Dt() = 1，重申了约束。关于 Dqe 和 Dpe 的哈密顿方程直接就是哈密顿方程：

扩展哈密顿量 (5.103) 不依赖于独立变量，因此它是一个守恒量。于是，忽略一个附加常数 pt 等于负的能量。关于 Dpt 的哈密顿方程将能量的变化与 0 H 联系起来。注意，在更一般的情况下，时间的共轭动量不是能量的负值。选择 t() = 对于许多应用是有用的。

注意，扩展变换在以下意义上是正则的：两组运动方程描述了等价的动力学。然而，该变换不是辛变换；事实上，它甚至不具有相同数量的输入和输出变量。

练习 5.10. 齐次扩展拉格朗日量 验证 Le 是速度的一次齐次函数。

练习 5.11. 拉格朗日方程 a. 验证如下论断：关于 qe 的拉格朗日方程恰好对于满足 q 的原始拉格朗日方程的那些相同轨迹成立。

b. 验证如下论断：关于 t 的拉格朗日方程将能量变化率与 0 L 联系起来。

练习 5.12. 洛伦兹变换 研究洛伦兹变换作为扩展相空间中的点变换。

限制性三体问题

展示在扩展相空间中重新表述问题之实用性的一个例子是限制性三体问题：一个低质量粒子在另外两个沿固定轨道运动的大质量物体的引力吸引下的运动。该问题是对一个质量非常小的物体在两个质量大得多的物体存在下运动情况的理想化。小物体对大物体的任何影响都被忽略。在最简单的版本中，假设所有三个物体的运动都在同一平面内，且两个大质量物体的轨道是圆形的。

大质量物体的运动不受小质量的影响，因此我们将这种情况建模为小物体在大物体进行规定运动所产生的时变场中运动。这种情况可以用一个含时哈密顿量来描述：

其中 r1 和 r2 是小物体到大物体的距离，m 是小物体的质量，m1 和 m2 是大物体的质量。注意，r1 和 r2 是既依赖于小粒子位置又依赖于大粒子时变位置的量。

大质量物体在圆形轨道上运动，并保持与质心的恒定距离。令 a1 和 a2 为到质心的距离；那么距离满足 m1 a1 = m2 a2。角频率为 = (G(m1 + m2)/a3)1/2，其中 a 是质量之间的距离。

在极坐标中，以大质量粒子子系统的质心为原点，r 和 描述低质量粒子的位置，两个大质量物体的位置为 a2 = m1 a / (m1 + m2)，其中 2 = t；a1 = m2 a / (m1 + m2)，其中 1 = t + 。到点质量的距离为

因此，在极坐标中，哈密顿量为

因此我们看到哈密顿量可以用某个函数 f 写成如下形式

基本特征是 和 t 在哈密顿量中仅以组合 - t 的形式出现。

消除时间依赖性的一种方法是选择一组新变量，其中一个坐标等于该组合 - t，通过做一个到旋转坐标系的点变换。我们已经证明

其中

是一个正则变换。新的哈密顿量（不是能量）是守恒的，因为没有显式的时间依赖性。它是一个有用的运动积分——雅可比常数。15

我们也可以通过进入扩展相空间，选择 t = ，来消除限制性问题哈密顿量中对类时间独立变量的依赖性。哈密顿量

是自治的，因此是运动的一个积分。同样，我们看到 和 t 仅以组合 - t 的形式出现，这提示了一个到新坐标 ' = - t 的点变换。该点变换不依赖于新的独立变量 。该变换由方程 (5.109-5.112) 指定，并辅以规定时间坐标及其共轭动量如何处理的关系：

新的哈密顿量通过将旧哈密顿量与变换复合得到：

我们认识到扩展相空间中的新哈密顿量（与扩展相空间中的原始哈密顿量具有相同的值）正是雅可比常数加上 p't。新的哈密顿量不依赖于 t'，因此 p't 是一个运动常数。事实上，它的值对动力学的其余部分无关紧要，因此如果我们愿意，可以将 p't 的值设为零。于是，我们发现扩展相空间中的哈密顿量（它是守恒的）正是雅可比常数加上一个附加的任意常数。我们有两种途径得到雅可比常数：(1) 将原始系统变换到旋转坐标系以消除时间依赖性，但在此过程中向哈密顿量添加了额外项；(2) 进入扩展相空间并立即得到一个积分，通过转到旋转坐标系认识到该哈密顿量与雅可比常数相同。因此，有时扩展相空间中的哈密顿量是一个有用的积分。

练习 5.13. 扩展相空间中的变换 在第 5.2.3 节中，我们发现坐标-动量部分的导数是辛的含时变换仅在通过添加受某些约束（方程 5.54）的函数 K 修改哈密顿量时才是正则的。证明对 K 的约束来源于扩展相空间中的辛条件，使用选择 t = 。

5.4.1 庞加莱-卡坦积分不变量

一个含时变换是正则的，如果在扩展相空间中哈密顿量通过复合变换且扩展相空间变换是辛的。在第 5.3 节中，我们证明如果变换的导数是辛的，则相空间任意二维区域在正则 qi、pi 平面上的投影面积之和保持不变。对于扩展相空间中的辛变换，该不变性也成立。令 R 和 R' 为扩展相空间坐标的对应区域。令 Ai 为区域 R 在正则 qi、pi 平面上的投影面积，A'i 为对应区域 R' 在正则 q'i、p'i 平面上的投影面积。在扩展相空间中，我们还有在 t、pt 正则平面上的投影。令 An 为在 t、pt 平面上的投影面积。于是我们有

用积分表示，这就是

面积积分之和的这个等式可以通过斯托克斯定理改写为线积分：

其中积分和求和的顺序可以交换，因为 R 的边界投影到正则平面上的边界。

对于 t = 的特殊选择，这个结果可以用一种有趣的方式重新表述。令 E 为原始非扩展相空间中哈密顿量的值。使用 qn = t 和 pn = pt = - E，我们可以写出

以及

关系式 (5.121) 和 (5.122) 是庞加莱-卡坦积分不变量的两种表述。