5.3 正则变换的不变量
正则变换使我们能够改变用于表达问题的相空间坐标系，同时保持哈密顿方程的形式不变。如果我们在一个相空间坐标系中求解了哈密顿方程，我们可以利用该变换将解携带到另一个坐标系中。正则变换还保持了哪些其他性质？
p v 的非不变性
我们在方程(5.10)中指出，点的变换的正则扩展保持了 p v 的值。这对更一般的正则变换不成立。我们可以用量子考虑的变换来说明这一点。沿着对应路径 x, px 和 
, I
因此 Dx 为
p v 与变换后的 p' v' 之差为
一般情况下这不等于零。乘积 pv 在一般正则变换下不一定保持不变。
泊松括号的不变性
这里有一个值得注意的事实：两个相空间状态函数的泊松括号与正则变换的复合，等于这两个函数各自与变换复合后的泊松括号。粗略地说，泊松括号在正则相空间变换下是不变的。
设 f 和 g 为两个相空间状态函数。利用泊松括号的 
表示（见第5.2.4节），我们推导出
其中在中间使用了 C 是辛的且满足方程(5.52)的事实。抽象到相空间状态的函数，这就是
体积保持
考虑一个正则变换 C。设 
t 为一个带参数 t 的函数，使得 (q, p) = t(q', p') 如果 (t, q, p) = C(t, q', p')。函数 t 将相空间坐标在给定时间映射到备用的相空间坐标。考虑 (q, p) 中的区域 R 和 (q', p') 中的区域 R'，使得 R = t(R')。区域 R' 的体积为
其中 
是每个输入都取值为1的函数。现在如果 C 是辛的，那么 D t 的行列式为1（见第4.2节），所以
因此，相空间体积被辛变换保持。
刘维尔定理表明时间演化保持相空间体积。这里我们看到正则变换也保持相体积。稍后，我们将会发现时间演化实际上生成了一个正则变换。
辛变换保持的双线性形式
泊松括号在正则变换下的不变性可用于证明另一个密切相关的反对称双线性形式在正则变换下的不变性。定义11
其中 Q = I1 和 P = I2 分别是坐标和动量选择子。参数 
1 和 2 是增量式相空间状态。在正则变换 s = C(s') 下，增量状态通过导数变换
我们将证明
前提是 i' 具有零时间分量。
具有复合哈密顿量 H 的时间无关变换 C 为正则的条件(5.27)等价于辛条件(5.31)，后者不涉及哈密顿量 H。因此，对于时间无关的辛变换 C，条件(5.27)在将哈密顿量替换为相态空间上的任意函数 f 后也成立：
我们将在下文中使用这一点。
用 
表示，泊松括号为
这可以通过写出分量来看到。我们利用泊松括号在正则变换下不变的事实：
方程(5.76)的左边为
其中我们使用了关系式(5.74)。方程(5.76)的右边为
左边必须等于对任意 f 和 g 的右边，因此该方程对于形式为 i' 的任意变量也必须成立
'i 是具有零时间分量的任意增量状态。
因此我们证明了
对于正则变换 C 和具有零时间分量的增量状态 'i 成立。利用方程(5.72)，我们有
因此反对称双线性函数 在正则变换下是不变的。
作为程序， 为
(define (omega zeta1 zeta2)
(- (* (momentum zeta2) (coordinate zeta1))
(* (momentum zeta1) (coordinate zeta2))))
我们可以通过计算残差来检验它在极坐标到直角坐标的正则变换下是否不变。我们使用任意状态
(define a-polar-state
(up 't
(up 'r 'phi)
(down 'pr 'pphi)))
以及典型的状态增量
(define zeta1
(up 0
(up 'dr1 'dphi1)
(down 'dpr1 'dpphi1)))
(define zeta2
(up 0
(up 'dr2 'dphi2)
(down 'dpr2 'dpphi2)))
注意 zeta1 和 zeta2 的时间分量为零。我们求残差：
(print-expression
(let ((DCs ((D (F->CT p->r)) a-polar-state)))
(- (omega zeta1 zeta2)
(omega (* DCs zeta1) (* DCs zeta2)))))
0
残差为零，因此 在此正则变换下不变。
庞加莱积分不变量
考虑相空间中区域 R' 的有向面积（见图5.2）。假设我们做一个从坐标 (q', p') 到 (q, p) 的正则变换，将区域 R' 映射到区域 R。变换后坐标中的区域边界正是原边界在正则变换下的像。设 Rqi, pi 为区域 R 在坐标 qi 和共轭动量 pi 的 qi, pi 平面上的投影，并设 Ai 为其面积。我们称 qi, pi 平面为这些相空间变量中的第 i 个正则平面。类似地，设 R'q'i, p'i 为 R' 在 q'i, p'i 平面上的投影，并设 A'i 为其面积。那么，R 和 R' 的投影面积之和是相同的：
也就是说，正则平面上投影面积之和在正则变换下保持不变。另一种表述方式是
要理解为什么这是正确的，我们首先考虑相空间中一个增量平行四边形的面积如何在正则变换下变换。设 (
q, p) 和 (
q, p) 为相空间中的小增量，起始于 (q, p)。考虑顶点在 (q, p) 的增量平行四边形，以这两个相空间增量为边。这个增量平行四边形在正则平面上的投影面积之和可以写成
右边是正则平面上面积之和；对于每个 i，平行四边形的面积由其邻边的向量的分量计算。设 1 = (0 , q, p) 且 2 = (0 , q, p)；那么增量平行四边形面积之和正好是
其中 是方程(5.71)中引入的反对称双线性函数。函数 在正则变换下不变，因此增量平行四边形面积之和在正则变换下不变。
任意区域的面积就是覆盖该区域的增量平行四边形面积之和的极限，因此有向面积之和被正则变换保持：
我们将一个区域定义为类作用量的，如果可以选择正则坐标使得该区域完全位于由特定正则对 qi, pi 张成的子空间中。对于这个坐标系，在该平面上的投影具有全部面积。在其他正则平面上的投影没有面积。因此正则投影面积之和就是区域本身的面积。正则平面上的投影面积之和在正则变换下保持，因此类作用量区域的面积就是任何正则坐标系下正则投影面积之和。
也存在没有类作用量投影的区域。例如，qi, qj 平面中的一个区域就没有类作用量投影。因此正则投影面积之和为零，这对于任何正则坐标系都是如此，尽管在其他正则坐标中，一些投影可能有非零面积，并由其他投影的负面积来平衡。
利用斯托克斯定理，对于单连通区域 Rqi, pi 和 R'q'i, p'i，面积相等关系(5.83)也可以写成线积分相等的形式：
正则平面除了在原点处外都是不相交的，因此投影面积至多相交于一点。这样，我们可以将围绕区域在正则平面上各单个投影的边界的线积分独立地累加为围绕未投影区域边界的线积分：
练习 5.9. 当心
考虑正则变换 C：
a. 证明该变换对任意 a 是辛的。
b. 证明方程(5.88)对于由常值 J 曲线围成的区域一般不成立。
