第 5 章 正则变换

简化问题分析的一种方法是将其表达为解具有简洁表示的形式。然而，一开始就以这种方式表述问题可能并不容易。通常有用的是先以一种方式表述问题，然后对其进行变换。例如，多个引力体运动问题在直角坐标系中表述很简单，但用轨道元素——如轨道的半长轴、偏心率和倾角——来理解运动的某些方面则更容易。轨道的半长轴和偏心率既依赖于物体的位形，也依赖于其速度。这类变换比那些仅改变位形坐标的变换更为一般。这里我们研究涉及广义坐标和广义动量的相空间坐标变换。

假设我们有两个不同的哈密顿系统，并且这两个系统的轨迹之间存在一一对应关系。在这种情况下，两个哈密顿系统都可以是同一物理系统的数学模型。关于该物理系统的某些问题可能通过参考一个模型更容易回答，而另一些问题可能通过另一个模型更容易回答。例如，在一个模型中更容易表述物理系统，而在另一个模型中更容易发现守恒量。正则变换是保持动力学性质的哈密顿系统之间的映射。

正则变换是一种相空间坐标变换以及相应的哈密顿量变换，使得两种表示下由哈密顿方程给出的动力学描述的是同一系统的相同演化过程。