5.1 点的变换

点的变换是一种正则变换，它将可能依赖于时间的配置坐标变换扩展到相空间变换。例如，当给定一个用直角坐标描述的运动时，我们可能希望用极坐标来重新表达该运动。为了将配置坐标变换扩展到相空间变换，我们必须确定动量和哈密顿量如何变换。

我们已经看到如何在拉格朗日表述中进行配置变换（参见第1.6.1节）。在那时，我们发现，如果拉格朗日量通过与坐标变换复合而变换，那么拉格朗日方程是等价的。

相差一个全时间导数的拉格朗日量是等价的，但它们具有不同的广义坐标共轭动量。因此，对于坐标变换的正则扩展，存在不止一种方式。

在这里，我们找到坐标变换的特定正则扩展，使得拉格朗日量通过与变换复合而变换，而不向拉格朗日量添加额外的全时间导数项。

设 L 为系统的拉格朗日量。考虑坐标变换 q = F(t, q')。速度的变换由下式给出

我们可以通过复合得到变换坐标下的拉格朗日量 L'(t, q', v') = L(t, q, v)：

共轭于 q' 的动量为

其中我们使用了

因此，由方程(5.3)，1

我们可以将这些结果汇总起来，定义一个正则相空间变换 C：2

哈密顿量通过勒让德变换得到

在第二步中使用了关系式(5.1)和(5.5)。完全用变换后的坐标和动量来表示，变换后的哈密顿量为

哈密顿量 H' 和 H 是等价的，因为 L 和 L' 对给定的动力学状态具有相同的值，因而具有相同的定常作用量路径。一般情况下，H 和 H' 对给定的动力学状态不具有相同的值，但相差一个依赖于坐标变换的项。

对于时间无关的变换，0 F = 0，存在若干简化。速度关系式(5.1)变为

将此与动量之间的关系式(5.5)比较，我们看到在这种情况下，动量的变换与速度的变换是

因此动量与速度的乘积在变换下不变。这一点，结合由构造 L(t, q, v) = L'(t, q', v') 这一事实，表明

对于时间无关的坐标变换，哈密顿量通过与相关联的相空间变换复合而变换。我们也可以从哈密顿量之间的一般关系式(5.7)看出这一点。

实现点的变换

过程 F->CT 接受一个实现配置坐标变换的过程 F，并返回一个实现相空间坐标变换的过程：

(define ((F->CT F) H-state)
  (up (time H-state)
      (F H-state)
      (* (momentum H-state)
         (invert (((partial 1) F) H-state)))))

考虑一个在中心场中运动的粒子。在直角坐标下，其哈密顿量为

(define ((H-central m V) H-state)
  (let ((x (coordinate H-state))
        (p (momentum H-state)))
    (+ (/ (square p) (* 2 m))
       (V (sqrt (square x))))))

让我们看看这个哈密顿量在极坐标下的形式。相空间变换通过将 F->CT 应用于过程 p->r 得到，该过程接受时间和极坐标元组，并返回直角坐标元组（见第1.6.1节）。该变换是时间无关的，所以哈密顿量通过复合而变换。在极坐标下，哈密顿量为

(show-expression
 ((compose (H-central 'm (literal-function 'V))
           (F->CT p->r))
  (up 't
      (up 'r 'phi)
      (down 'p_r 'p_phi))))

共有三项。有依赖于半径的势能，有径向运动的动能，还有切向运动的动能。正如所预期的，角度 不出现，因此角动量是一个守恒量。通过转到极坐标，我们解耦了问题中两个自由度中的一个。

练习 5.1. 转动

设 q 和 q' 为通过转动 R 相关联的直角坐标：q = R q'。系统的拉格朗日量为 L(t, q, v) = (1/2) m v2 - V(q)。求相应的相空间变换 C。比较动量直角分量的变换方程与速度直角分量的变换方程。考虑到方程(5.10)，你感到惊讶吗？