4.4 可积系统

岛出现在近可公度性附近，即使在可积系统中也存在可公度性。在可积系统中，每个可公度性都关联着无穷多个周期轨道，但在扰动下只有有限个周期轨道存留下来。这是如何发生的？首先我们必须更深入地了解可积系统。

如果一个具有 n 个自由度的系统存在 n 个独立的守恒量，那么该问题的解可以归结为求积分。这样的系统称为可积系统。通常，可积系统的相空间被划分为具有不同定性行为的区域。例如，单摆的运动可以归结为求积分，并且具有三种不同类型的解：振荡解、顺时针旋转解和逆时针旋转解。单摆相空间的不同区域由趋近于不稳定平衡的渐近轨迹分隔开来。事实证明，对于任何可归结为求积分的系统，可以为相空间的每个区域选取一组相空间坐标，使得描述该区域运动的哈密顿量仅依赖于动量。此外，如果相空间是有界的，则广义坐标可以选择为角度（它们是 2 周期的）。由 n 个角度描述的构型空间是一个 n 维环面。与这些角度共轭的动量称为 actions。这样的相空间坐标称为作用-角坐标。我们稍后将看到如何以这种方式重新表述系统。这里我们探讨这种表述的后果；这种表述对于发现向可积问题添加额外效应时会发生什么特别有用。

可积系统中的轨道类型

假设我们有一个不显含时间的 n 自由度系统，且该系统可归结为求积分。对于相空间的每个区域，存在一个局部表述，使得系统的演化由仅依赖于动量的不显含时间哈密顿量描述。进一步假设坐标均为角度。令 为角度元组，J 为共轭动量元组。哈密顿量为

哈密顿方程简化为

其中 (J) = D f(J) 是一个频率元组，每个自由度对应一个分量。由于哈密顿量不依赖于任何坐标，所有动量均为常数。坐标角度的运动是均匀的；角度的变化率是频率 ，它仅依赖于恒定的动量。给定初始值 (t0) 和 J(t0) 在时刻 t0，解很简单：

虽然解很简单，但存在若干种不同的轨道类型：平衡解、周期轨道和拟周期轨道，具体取决于频率比。

如果对于某个 J，(J) 为零，则 和 J 均为常数，对任意 均成立。系统处于平衡点。

如果系统的所有坐标（和动量）在之后的某个时刻都返回到它们的初始值，则该解是 periodic 的。每个具有非零频率 i(J(t0)) 的坐标 i 是周期的，周期为 i = 2/i(J(t0))。因此，系统的周期必须是每个单独坐标周期 i 的整数倍 ki。如果系统以某组整数倍为周期，那么约去公因子后它也是周期的。因此，系统的周期为 = (ki/d) i，其中 d 是整数 ki 的最大公约数。

对于具有两个自由度的系统，如果存在一对互质的整数 k 和 j，使得 k 0(J(t0)) = j 1(J(t0))，则该解是周期的。系统的周期为 = 2 j / 0(J(t0)) = 2 k / 1(J(t0))；频率为 0(J(t0)) / j = 1(J(t0)) / k。图 4.10 展示了二维环面上的周期运动。

如果频率 i(J(t0)) 满足一个整数系数关系 sumi ni i(J(t0)) = 0，我们就说这些频率满足一个可公度性。如果对于任何非零整数系数都不存在可公度性，我们就说这些频率是（关于整数）线性无关的，并且该解是拟周期的。可以证明，对于 n 个不可公度的频率，所有解都会任意接近构型空间中的每一个点。8

对于具有两个自由度的系统，由特定作用-角变量集描述的区域中的解要么是平衡解，要么是周期解，要么是拟周期解。9 对于具有两个以上自由度的系统，存在既不是周期的也不是具有 n 个频率的拟周期的轨迹。这些轨道具有较少频率的拟周期性质，并在相应的低维环面上稠密。

可积系统的截面

正如我们所看到的，在作用-角坐标中，角度以恒定的角频率运动，而动量是常数。因此，作用-角坐标中的截面特别简单。我们可以为不显含时间的二自由度系统或具有周期驱动的单自由度系统制作截面。在后一种情况下，作用-角系统中的一个角度就是驱动的相位。我们通过在一对正则坐标中累积点，当另一个坐标经过某个特定值（例如零）时，来制作截面。如果我们绘制截面点，以角度坐标为横坐标，共轭动量为纵坐标，那么所有轨迹的截面点都位于水平线上，如图 4.11 所示。

为明确起见，令截面平面为 (0, J0) 平面，截面条件为 1 = 0。另一个动量 J1 的选择使得所有轨迹具有相同的能量。所有动量都是常数，因此对于给定的轨迹，生成的所有点都被约束在恒定 J0 的线上。

截面点之间的时间间隔是 1 的周期： t = 2 / 1(J(t0))，因为 1 的每个周期产生一个截面点。截面上连续点之间的角度为 0(J(t0)) t = 0(J(t0)) 2 / 1(J(t0)) = 2 (J(t0))，其中 (J) = 0(J) / 1(J) 称为轨迹的旋转数。令 (i) 和 (i) 为由解轨迹生成的截面上点序列中的第 i 个点（i 为整数）：

其中假设系统在 t = t0 时位于截面上。沿一条轨迹，从一个截面点 ( (i), (i) ) 到下一个截面点 ( (i + 1), (i + 1) ) 的映射具有如下形式：10

作为截面上作用的函数，旋转数为 ((0)) = ((0), J1(t0))，其中 J1(t0) 取满足截面要求的值，例如通过赋予正确的能量。如果旋转数函数 在截面上的作用坐标中是严格单调的，则该映射称为扭转映射。11

在截面上，不同类型的轨道产生不同的图案。如果轨道是平衡解，则截面上的初始点是一个不动点。系统就停留在那里。

如果两个频率是可公度的，则轨迹是周期的，并且在截面上只生成有限个点。图 4.10 中展示的两个周期解在由 1 = 0 定义的截面上各生成两个点。如果频率是可公度的，它们满足形如 k 0(J(t0)) = j 1(J(t0)) 的关系，其中 J(t0) = ((0), J1(t0)) 是动量元组的初始恒定值。运动是周期的，频率为 0(J(t0))/j = 1(J(t0))/k，因此周期为 2 j/ 0(J(t0)) = 2 k/ 1(J(t0))。因此，这个周期轨道在此截面上生成 k 个点。对于具有可公度频率的轨迹，旋转数是有理数：((0)) = ((0), J1(t0)) = j/k。坐标 1 完成 k 个周期，而坐标 0 完成 j 个周期（图 4.10 显示了一个旋转数为 2/3 的系统）。频率依赖于动量而不依赖于坐标，因此对于给定的这些动量，所有初始角度的运动都具有相同的周期和旋转数。因此，存在一个由具有不同初始角度的周期轨道组成的连续族。

如果两个频率是不可公度的，那么二维环面被稠密地填充。因此，生成截面点的直线也被稠密地填充。同样，这对于任何初始坐标都成立，因为频率只依赖于动量。对于一组给定的频率，存在无穷多个这样的不同轨道。12