4.5 庞加莱-伯克霍夫定理

如果我们增加额外效应，这幅图像会发生怎样的变化？

可积系统中轨道的一个奇特特征是存在连续的周期轨道族。初始角度无关紧要；频率仅依赖于作用量。将此与我们之前在截面上的经验进行对比，其中周期点是孤立的，并与岛链相关联。庞加莱和伯克霍夫研究了近可积系统的周期轨道，发现通常对于每个有理旋转数，存在有限个周期点，其中一半是线性稳定的，一半是线性不稳定的。这里我们展示如何构造庞加莱-伯克霍夫周期点。

考虑一个可积系统，在作用-角坐标中由哈密顿量 H0(t, , J) = f(J) 描述。我们添加一些由哈密顿量中的项 H1 描述的小的额外效应

这类系统的一个例子是周期驱动的单摆，其驱动幅度很小。对于零驱动幅度，驱动单摆是可积的，但对于小驱动则不是。不幸的是，我们尚未具备为单摆发展作用-角坐标的工具。一个更简单的、已经具有作用-角形式的问题是驱动转子，它相当于关闭了重力后的驱动单摆。我们可以通过将驱动单摆侧放，使其摆面变为水平来实现这一点。驱动转子的一个哈密顿量为

其中 A 是频率为 的驱动幅度，m 是摆锤的质量，l 是转子的长度。对于零幅度，哈密顿量已经具有作用-角形式，因为它只依赖于动量 p，且坐标是角度。

对于可积系统，在截面上生成的映射形式为 (4.39)。在哈密顿量中加入一个小扰动后，映射也会加上小修正

映射 T 和受扰映射 T 都是保面积的，因为这些映射是作为哈密顿系统的截面生成的。

假设我们感兴趣的是确定在作用量 < (0) < ß 的某个区间内，是否存特定有理旋转数 ((0)) = j/k 的周期轨道。如果旋转数在此区间内严格单调，且未受扰映射 T 在此区间内存在具有旋转数 ((0)) 的轨道，那么通过一个简单的构造，我们可以证明对于足够小的 ，T 也存在具有该旋转数的周期轨道。

如果一个点对于有理旋转数 ((0)) = j/k 是周期的，其中 j 和 k 互质，那么我们期望截面上会出现该点的 k 个不同的像。因此，如果我们考虑映射的 k 次迭代，则该点是映射的不动点。对于有理旋转数 j/k，映射 Tk 对每个初始角度都有一个不动点。

映射 T 的旋转数是严格单调的。为明确起见，假设旋转数 ((0)) 随 (0) 增加而增加。对于某个满足 < * < ß 的 *，旋转数为 j/k，且对于任意初始 *，(*, *) 是 Tk 的不动点。对于 *，Tk 的旋转数为零。映射 T 的旋转数是单调递增的，因此只要 (0) 离 * 不太远，对于 (0) > *，Tk 的旋转数为正，而对于 (0) < *，Tk 的旋转数为负。参见图 4.12。

现在考虑映射 Tk。一般来说，对于小的 ，点在 T 下的映射与 T 下的映射略有不同，但差别不大。因此，我们可以预期在 * 附近仍然存在某个区间，使得对于该区间上端的 (0)，Tk 将点映射到更大的 0，而对于该区间下端的点，Tk 将点映射到更小的 0。如果是这样，那么由连续性，对于每个 (0)，区间中存在某个点 +((0))，其 0 不变。这些不是不动点，因为动量 J0 通常会改变。参见图 4.12。

映射是连续的，因此我们可以预期 + 是 0 的连续函数。当 0 变化 2 时，该函数要么是周期的，要么不是周期的。保面积性保证了它必定是周期的。13 因此，在 Tk 下不改变 0 的点集构成 0 的某个周期函数。称此曲线为 C0。参见图 4.14。

映射 Tk 将曲线 C0 映射到另一条曲线 C1，后者与 C0 一样是连续且周期的。作为保面积性的一个结果，这两条曲线 C0 和 C1 必定相交。我们如何看出这一点？通常，演化存在 J0 的下界或上界。在某些情况下，我们有这样的下界，因为 J0 不能为负。例如，在椭圆不动点附近运动的作用-角变量中，作用量是相平面上包围的面积，它不能为负。对于其他情况，我们可能利用这样一个事实：对于大的正 J0 或负 J0 存在不变曲线。无论如何，假设存在这样一个屏障 B。那么，屏障与 C0 之间区域的面积必须等于该区域像的面积，即屏障与 C1 之间的区域。因此，如果在任何一点两条曲线 C0 和 C1 不重合，那么它们必须相交才能包含相同的面积。实际上，它们必须相交偶数次：它们都是周期的，所以如果它们相交一次，它们必须再次相交才能回到初始的一侧。曲线 C0 和 C1 相交的点是不动点，因为角度不变（这正是位于 C0 上的含义）且作用量不变（这正是 C0 和 C1 在该点相同的含义）。因此，我们推导出 Tk 必定有偶数个不动点。对于 Tk 的每个不动点，映射 T 的截面上会生成该不动点的 k 个像。这些像点中的每一个都是映射 T 的周期点。

我们可以仅从构造中推导出 Tk 的这些不动点的稳定性。不动点分为两种类型：椭圆型和双曲型。椭圆型不动点出现在流绕不动点环绕的地方：从 C0 到 C1 的映射可以沿着背景流继续延伸，形成一条闭合曲线。双曲型不动点出现在跟随从 C0 到 C1 的映射时，我们以离开不动点的方式进入背景流的地方。因此，仅从连接箭头的方式我们就可以确定不动点的性质。参见图 4.15。

随着我们构建庞加莱截面，我们发现某些轨道留下的痕迹会环绕稳定不动点，从而产生庞加莱-伯克霍夫岛。如果我们观察某个特定的岛，会看到岛中的轨道以单调依赖于距不动点距离的速率环绕不动点。在不动点附近，演化由扭转映射支配。因此，整个庞加莱-伯克霍夫构造可以重复进行。我们预期存在由稳定周期点组成的同心族，这些周期点被岛包围，并由从不稳定周期点发出的分界线分隔开来。围绕这些稳定周期轨道中的每一个，构造都会重复进行。因此，庞加莱-伯克霍夫构造是递归的，导致了无穷层次结构的发展。

4.5.1 计算庞加莱-伯克霍夫构造

我们构造不动点的方法中有如此多的条件，以至于人们可能会产生怀疑。我们可以通过实际计算一个具体问题的各个部分来使构造更令人信服。考虑周期驱动的转子，其哈密顿量为 (4.41)。我们设 m = 1 kg，l = 1 m，A = 0.1 m， = 4.2 (9.8)1/2 rad s-1。

我们将映射到相同角度的点称为“径向映射点”。我们通过简单的二分法来找到它们：

(define (radially-mapping-points Tmap Jmin Jmax phi eps)
  (bisect 
    (lambda (J) 
      ((principal-value pi)
       (- phi (Tmap phi J (lambda (phip Jp) phip) list))))
    Jmin Jmax eps))

过程 Tmap 实现了某个映射，该映射可能是某个更基本映射的迭代。我们为过程提供一个要研究的角度 phi、一个要搜索的作用量范围 Jmin 到 Jmax，以及一个解的容差 eps。

我们使用一段适当的包装代码，绘制曲线 C0（径向映射的初始条件）和 C1（C0 的像）。

在图 4.16 中，我们展示了驱动转子不动点的庞加莱-伯克霍夫构造。这些特定的曲线是针对旋转与驱动之间的两个 1:1 可公度性构造的。每个旋转方向构造一组不动点。对应的截面如图 4.17 所示。我们看到，截面显示的不动点恰好出现在庞加莱-伯克霍夫构造显示曲线 C0 和 C1 相交的地方。事实上，不动点的性质清楚地反映在 C0 和 C1 曲线的相对构型中。

在图 4.18 中，我们展示了旋转数为 1/3 的结果。这些曲线是截面映射第三次迭代的径向映射点（实线）以及这些点的像（虚线）。这些曲线因其靠近图 4.17 中所示的 1:1 岛而发生了扭曲。对应的截面如图 4.19 所示。

练习 4.7. 计算庞加莱-伯克霍夫构造 考虑图 3.27。使用庞加莱-伯克霍夫构造找出三个主要岛链的不动点。