4.3 同宿缠结

对于受驱摆，我们观察到随着驱动振幅的增大，未受驱摆的分界线处出现了最显著的混沌区域。这里我们将详细考察分界线附近的运动。展现在我们面前的是一幅由 Henri Poincaré 首先发现的异常复杂的图景。事实上，Poincaré 曾表示（见本章的卷首引语），浮现出的画面过于复杂，他甚至不打算尝试将其绘制出来。我们将回顾导出这一图景的论证过程，并进行充分的计算以使我们自己确信其真实性。

未受驱摆的分界线由两条渐近趋于不稳定平衡点的轨迹组成。在零驱动下的受驱摆中，分界线上存在无穷多条不同的轨道；它们由驱动相位加以区分。这些轨道在时间正向和时间反演下都渐近地趋于不稳定不动点。

注意，靠近不稳定不动点时，渐近趋于不稳定平衡的点集必须与不动点处的线性变分特征向量相切（见图4.6）。从某种意义上说，渐近于不动点的轨道集是线性化问题中渐近于该不动点的轨道集向非线性问题的推广。

在时间正向上渐近于不稳定不动点的点集称为该不动点的稳定流形。在时间反演下渐近于不稳定不动点的点集称为该不动点的不稳定流形。对于零振幅驱动的受驱摆，分界线上的所有点在时间正向和时间反演下都渐近于不稳定不动点。因此在这种情况下，稳定流形与不稳定流形重合。

若驱动振幅非零，则仍然存在一维的点集，在时间正向和时间反演下渐近于不稳定不动点：稳定流形和不稳定流形仍然存在。为什么？不动点附近的行为由线性化变分系统描述。对于线性变分系统，位于不稳定特征向量张成的空间中的点，在时间反演映射下渐近于不动点。略微偏离这条曲线的点可能初始时趋近于不稳定平衡，但最终会向某一侧偏离。对于小驱动的受驱系统，仍然必须存在一条曲线，将向一侧偏离的点与向另一侧偏离的点分隔开来。位于这条分界线上的点必然渐近于不稳定平衡。由于映射保面积，该分界集合不可能具有正面积。

在零振幅驱动情形下，稳定流形和不稳定流形是守恒哈密顿量的等高线。当振幅非零时，哈密顿量不再守恒，稳定流形与不稳定流形不再重合。这对于不可积系统是普遍成立的：稳定流形与不稳定流形不重合。

如果稳定流形与不稳定流形不再重合，它们将去向何方？一般而言，稳定流形与不稳定流形必然相交。仅有的其他可能性是它们趋向无穷远或螺旋缠绕。面积守恒可用于排除螺旋缠绕的情况。我们将看到，通常情况下存在阻止逃逸的屏障。因此，唯一的可能性是稳定流形与不稳定流形相交，如图4.7所示。若稳定流形与不稳定流形属于同一不稳定不动点，则它们的交点称为同宿交点；若属于不同的不动点，则称为异宿交点。

如果稳定流形与不稳定流形相交一次，则存在无穷多个其他交点。交点同时属于稳定流形和不稳定流形。由于该点位于不稳定流形上，其所有正向和反向像也属于不稳定流形；对于稳定流形上的点同样如此。因此，该交点的所有像同时属于稳定流形和不稳定流形。所以这些像必定是两个流形的额外交点。

我们可以推断出稳定流形与不稳定流形还存在更多的交点。我们考虑的映射不仅保面积，还保定向。在刘维尔定理的证明中，我们展示了变换的行列式为1，而不仅仅是模为1。考虑交点附近稳定流形和不稳定流形的小段，这些段在映射下的像必定位于交点像的附近。映射保定向这一事实意味着流形之间的相交方向与前一交点处相同。因此，在这两个交点之间必定至少还存在一个稳定流形与不稳定流形的交点。如图4.8所示。当然，这些中间交点的所有正向和反向像也都是交点。

随着图景变得更加复杂，请记住，稳定流形不能自相交，不稳定流形也不能自相交。假设其中一个自相交，比如形成一个小环。这个环在映射下的像也必然是一个环。因此，如果存在一个环，就必须存在无穷多个环。这本身没问题，但当环接近不动点时会发生什么？仍然必须有环存在，但这样一来稳定流形和不稳定流形就不具备正确的行为：线性化映射的稳定流形和不稳定流形没有环。因此，稳定流形和不稳定流形不能自相交。7

我们还没有结束！由稳定流形和不稳定流形的相继交点所定义的瓣包围着一定的面积。映射保面积，因此所有这些瓣的像必须具有相同的面积。当瓣趋近不动点时，我们得到无穷多个瓣，其底部呈指数收缩。稳定流形和不稳定流形不能自相交，因此为了将这些瓣铺排在平面上，它们必须拉伸以保持面积不变。我们看到瓣的长度大致呈指数增长（其宽度可能不均匀，因此不必严格呈指数）。这种瓣的指数拉伸无疑与混沌轨道的相邻轨迹的指数发散有一定关系，但并不能证明这一点。然而，它确实暗示了混沌轨道在截面上看似占据一个区域这一事实与相邻混沌轨道指数发散这一事实之间的联系。

实际上，情况甚至更为复杂。随着瓣的拉伸，它们形成卷须，缠绕在分界线区域周围。不稳定流形的卷须可以与稳定流形的卷须相交。每个交点都是一个新的同宿交点，因此该点的每一个前像和后像都属于稳定流形和不稳定流形，表明这些曲线之间存在另一个交点。我们可以无穷尽地继续下去。难怪 Poincaré 拒绝绘制这一团乱象。

练习 4.5. 同宿悖论

如何在不允许稳定流形和不稳定流形自相交的情况下，将有限面积的无穷多个副本放入一个有限区域？请解决这一表面上的悖论。

4.3.1 稳定流形与不稳定流形的计算

同宿缠结并非一场噩梦。我们实际上可以计算它。

非常靠近不稳定不动点时，稳定流形和不稳定流形与线性化系统沿特征向量方向的射线无法区分。因此，计算不稳定流形的一种方法是取一组紧靠不动点、沿线性化系统的不稳定流形方向分布的初始条件，并将它们沿时间正向演化。类似地，稳定流形可以通过取一组沿线性化系统的稳定流形方向分布的初始条件，并将它们沿时间反向演化来构造。

我们可以通过沿流形选择某个参数（例如弧长）来做得更好，并对每个参数确定需要多少次映射迭代才能将该点带回到不动点附近的一个小区域内。然后我们沿线性化特征向量选取一个初始条件，并通过映射将该点迭代回去。以下程序实现了这一思想：

(define ((unstable-manifold T xe ye dx dy rho eps) param)
  (let ((n (floor->exact (/ (log (/ param eps)) (log rho)))))
    ((iterated-map T n) (+ xe (* dx (/ param (expt rho n))))
                        (+ ye (* dy (/ param (expt rho n))))
                        cons
                        (lambda () (error "Failed")))))

其中 T 是映射，xe 和 ye 是不动点的坐标，dx 和 dy 是线性化特征向量的分量，rho 是特征乘子，eps 是使得线性化映射对 T 足够近似的一个尺度，param 是沿流形的一个连续参数。该程序假设沿流形存在基本的指数发散——这就是为什么我们对 param 取对数以得到线性区域内的初始条件。这一假设并不完全精确，但目前已经足够好。

曲线通过调用 plot-parametric-fill 生成，该函数递归地细分参数区间，直到获得足够多的点以得到光滑曲线。

(define (plot-parametric-fill win f a b near?)
  (let loop ((a a) (xa (f a)) (b b) (xb (f b)))
    (if (not (close-enuf? a b (* 10 *machine-epsilon*)))
        (let ((m (/ (+ a b) 2)))
          (let ((xm (f m)))
            (plot-point win (car xm) (cdr xm))
            (if (not (near? xa xm))
                (loop a xa m xm))
            (if (not (near? xb xm))
                (loop m xm b xb)))))))

near? 参数是一个测试函数，用于判断图中两点是否在给定距离之内。由于某些坐标是角变量，这可能涉及主值比较。例如，对于受驱摆截面，横轴是角度但纵轴不是，因此图形位于圆柱面上：

(define (cylinder-near? eps)
  (let ((eps2 (square eps)))
    (lambda (x y)
      (< (+ (square ((principal-value pi)
                     (- (car x) (car y))))
            (square (- (cdr x) (cdr y))))
         eps2))))

图4.9展示了受驱摆同宿缠结的计算结果。参数为：m = 1 kg，g = 9.8 m s-2，l = 1 m， = 4.2(g/l)1/2，振幅 A = 0.05 m。作为参考，图4.9在同一比例尺下显示了这些参数对应的截面。

练习 4.6. 计算同宿缠结 a。计算标准映射的稳定流形和不稳定流形。

b。识别同宿缠结中曾进入其存在性论证的特征，例如稳定流形与不稳定流形的中心交叉等。

c。研究该过程中的误差。计算出的流形是否真的正确，还是仅仅是一厢情愿的产物？可以想象误差是指数式的，计算出的流形与实际流形毫无关系。

d。同宿缠结实际占据了多少空间？取耦合常数 K = 0.8。同宿缠结是否真的填满了视在混沌区域？