4.2 线性稳定性

定性变化与截面上的不动点相关联。随着驱动的开启，混沌区域出现在未受驱系统分界线上的不动点处，我们观察到与共振岛相关的新不动点和周期点的出现。这里我们研究系统在不动点附近的行为。我们可以区分截面上两种类型的不动点：一类对应于系统的平衡点，另一类对应于系统的周期轨道。我们首先考虑由微分方程支配的系统的平衡点的稳定性，然后讨论映射的不动点的稳定性。

4.2.1 微分方程的平衡点

首先考虑微分方程系统的平衡点情形。若系统初始处于平衡点，则系统将保持在该点。对于靠近平衡点的点，关于系统的演化我们能说什么呢？这实际上是一个非常困难的问题，至今尚未完全解决。然而，我们可以对系统在平衡点附近的运动有相当多的了解。第一步是研究平衡点附近微分方程的线性近似的演化。这一部分较为简单，正是线性稳定性分析的主题。稍后，我们将讨论线性分析对实际问题的意义。

考虑一个常微分方程组

其分量为

其中 n 是状态空间的维数。该方程组的一个平衡点是使得状态导数为零的点 ze：

对于平衡解，该式在所有时刻均为零，这意味着 0 F(t, ze) = 0。

接下来考虑一条经过平衡点附近的状态路径 z'。路径位移 的定义使得在时刻 t 有

我们有

如果 很小，我们可以将右端写为关于 的泰勒级数：

但第一项为零，因为 ze 是平衡点，因此

如果 很小，则演化可由线性项近似。线性稳定性分析研究近似方程的演化

这就是将平衡解代入参考轨迹后得到的变分方程（3.144）。此线性化系统的解与完整系统之间的关系是一个困难的数学问题，尚未完全解决。

如果我们将注意力限制在自治系统上（0 F = 0），那么平衡点处的变分方程是一个具有常系数的线性常微分方程组。2 这类系统可以解析求解。为简化记号，令 M = 1 F(t, ze)，因此

我们寻求如下形式的解

其中 是一个结构常数，其分量个数与 相同， 是一个复数，称为特征指数。代入后，我们得到

指数因子不为零，因此我们得到

这是关于特征值 和（归一化）特征向量 的方程。一般而言，有 n 个特征值和 n 个特征向量，因此我们需要对 和 都加上下标以指示特定的解。通解是这些独立解的任意线性组合。特征值是特征方程的解

其中 __P1__ 是 M 的矩阵表示，__P3__ 是同维数的单位矩阵。__P4__ 的元素是实数，因此我们知道特征值 要么是实数，要么以共轭复数对的形式出现。我们假设所有特征值互异。3

若特征值为实数，则解为指数形式，与假设一致。若特征值 > 0，则解沿 方向指数增长；若 < 0，则解沿 方向指数衰减。

若特征值为复数，我们可以通过组合共轭复数对的特征值对应的两个解来构造实解。令 = a + i b（其中 a 和 b 为实数）为这样一个复数特征值。令 = u + i v（其中 u 和 v 为实数）为对应的特征向量。于是存在一个如下形式的复解

该解的复共轭也是一个解，因为常微分方程是线性的且具有实系数。这个复共轭解对应于原复数特征值的共轭复数。因此 c 的实部和虚部是实解：

这两个解位于向量 u 和 v 张成的平面内。若 a 为正，两个解均呈指数向外螺旋；若 a 为负，则均呈指数向内螺旋。若 a 为零，则两个解描绘出相同的椭圆，仅相位不同。

同样，通解是对应于各个特征值的独立实解的任意线性组合。因此，若记 k 个实特征解为 k(t)，则通解为

其中 Ak 可由初始条件（给定时刻的状态）确定。

练习 4.1. Pendulum

详细求出摆的两个平衡点（ = 0 和 = ，两者均有 p = 0）的特征解。小振幅振荡频率与特征值有何关系？特征方向与哈密顿量的等高线有何关系？

4.2.2 映射的不动点

截面上的不动点要么对应于系统的平衡点，要么对应于系统的周期运动。不动点的线性稳定性分析与平衡点的线性稳定性分析类似。

令 T 为状态空间到其自身的一个映射，例如由截面生成的映射。轨迹序列由映射 T 的逐次迭代生成。令 x(n) 为序列中的第 n 个点。映射将轨迹序列中的一个点带到下一个点：x(n + 1) = T(x(n))。我们可以用上标表示映射的逐次迭代，因此 Ti 表示 T 复合 i 次。例如，T2(x) = T(T(x))。因此 x(n) = Tn(x(0))。4

映射 T 的不动点 x0 满足

映射 T 的一个周期点是每 k 次迭代被访问一次的点。因此它是映射 Tk 的不动点。所以，周期点附近的行为可以通过研究 Tk 的相关不动点附近的行为来确定。

令 x 为初始靠近 T 的不动点 x0 的某条轨迹， 为相对于 x0 的偏离：x(n) = x0 + (n)。该轨迹满足

将右端展开为泰勒级数，我们得到

但 x0 = T(x0)，因此

线性稳定性分析考虑截断至线性项后的系统的演化

这是一个具有常系数 DT(x0) 的线性差分方程组。

我们假设存在如下形式的解

其中 是一个（复数）数，称为特征乘子。5 将该解代入线性化演化方程，我们得到

即

其中 I 是恒等函数。我们看到 是线性变换 DT(x0) 的特征值， 是与之关联的（归一化）特征向量。令 M = DT(x0)，并令 __P10__ 为其矩阵表示。特征值由下式确定

__P1__ 的元素是实数，因此特征值 要么是实数，要么以共轭复数对的形式出现。6

对于实特征值，解就是沿相应特征向量 的指数增长或衰减：

若 || || > 1，解增长；若 || || < 1，解衰减。若特征值为复数，则解为复数，但对应于共轭复数对特征值的复解可以组合成两个实解，正如平衡点情形所做的那样。令 = exp(A + i B)（其中 A 和 B 为实数），且 = u + i v。与平衡点情形类似的计算表明存在两个实解

我们看到，若 A>0，则解指数增长；若 A<0，则解指数衰减。指数增长 A>0 对应于 || || > 1；指数衰减 A<0 对应于 || || < 1。若 A = 0，则两个实解描绘一个椭圆，且它们的任意线性组合也描绘一个椭圆。

通解是各个特征解的任意线性组合。令 k 为第 k 个实特征解。通解为

其中 Ak 可由初始条件确定。

练习 4.2. 椭圆振荡

证明，当 A = 0 时，a 和 b 的任意线性组合描绘一个椭圆。

练习 4.3. 标准映射

标准映射（见第3.9节）在 I = 0 处有不动点，分别对应于 = 0 和 = 。求出这两个不动点的全部特征解。参数 K 在什么范围内，这些不动点是线性稳定或不稳定的？

4.2.3 指数之间的关系

对于由自治微分方程组演化的频闪采样生成的映射，平衡点就是映射的不动点。流的平衡点的特征解与映射在该不动点的特征解之间存在关联。令 为采样周期。则 i = ei 。

李雅普诺夫指数是衡量相邻轨迹相对于参考轨迹的指数发散速率的量。若参考轨迹是流的平衡点，则李雅普诺夫指数就是线性化特征指数 i 的实部。若参考轨迹是由流生成的映射的不动点（无论是周期轨道还是平衡点），则李雅普诺夫指数是特征乘子对数的实部除以映射的周期。因此，若特征乘子为 = eA+iB，映射周期为 ，则李雅普诺夫指数为 A/。不动点的正李雅普诺夫指数表明该不动点线性不稳定。

李雅普诺夫指数所含的信息少于特征乘子或特征指数，因为虚部丢失了。然而，李雅普诺夫指数具有更广泛的适用性，因为它对于非周期的参考轨迹也有良好的定义。

在不动点的线性分析中，每个特征指数对应一个可能的线性解子空间。例如，对于实特征乘子，存在一个相应的特征方向，对于沿该方向的任意初始位移，后续的迭代也沿该方向进行。共轭复数对的特征乘子对应一个解平面。对于初始位于该平面内的位移，后续的迭代也位于该平面内。

事实证明，对于不在不动点处的参考轨迹附近的线性化解，也存在类似的情况。对于每个非零的李雅普诺夫指数，存在一个扭转子空间，使得初始位于该子空间内的位移，其后续的迭代也属于该子空间。沿参考轨迹的不同位置，表征该子空间方向的单位位移向量是不同的。

哈密顿系统的特化

对于哈密顿系统，特征值之间存在额外的约束。

首先考虑二维截面的情形。我们已经看到哈密顿截面保持面积不变。正如我们在刘维尔定理的证明中所见，面积守恒意味着变换的导数行列式为1。在不动点 x0 处，线性化映射为 (n + 1) = DT(x0) (n)。因此 M = DT(x0) 具有单位行列式。而行列式等于特征值的乘积，因此在哈密顿截面的不动点处，两个特征值必须互为倒数。此外还有一个约束：若特征值为复数，则该特征值的复共轭也是特征值。这两个条件意味着特征值要么是实数且互为倒数，要么是单位圆上的共轭复数对（见图4.4）。

特征乘子全部位于单位圆上的不动点称为 elliptic 不动点。线性化变分方程的解围绕不动点描绘椭圆。椭圆型不动点是线性稳定的。

具有正实特征乘子的不动点称为双曲型不动点。对于二维映射，存在一个指数扩张的子空间和一个指数收缩的子空间。通解是这些解的线性组合。特征乘子为负的不动点称为带反射的双曲型不动点。

两个退化特征乘子的边缘情形称为抛物型。对于两个退化特征值，通解呈线性增长。这发生在分岔点上，此时椭圆型不动点变为双曲型不动点，或反之。

对于二维哈密顿映射，这是仅有的可能性。对于高维哈密顿映射，我们可以得到这些情形的组合：某些特征乘子为实数，另一些为共轭复数对。我们可能会想象，在高维情形下还会出现许多其他类型的不动点。事实上，只存在一种额外的类型，如图4.5所示。对于任意维数的哈密顿系统，以下性质仍然成立：对于每个特征值，其复共轭和倒数也都是特征值。我们可以从第5章的一个结果出发来证明这一点。考虑由哈密顿系统的时间演化生成的相空间到其自身的映射。令 z = (q, p)；则对于哈密顿方程的解 z，映射 Tß 满足 z(t + ß) = Tß(z(t))。我们将在第5章中证明，无论起点是否在不动点处，映射 Tß 的导数都是辛的。一个 2n×2n 的矩阵 __P13__ 是辛的，若它满足

其中 __P0__ 是 2n 维的辛单位矩阵：

其中 n× n 的单位矩阵 1n × n 和 n × n 的零矩阵 0n × n。

利用辛性质，我们可以证明，一般而言，对于每个特征值，其倒数也是特征值。假设 是一个特征值，则 满足 det(__P6__ - __P7__) = 0。若将 __P8__ 替换为其转置，该方程保持不变，因此 也是 __P9__T 的特征值：

由此我们可以看到

现在，由辛性质我们有

因此

并且我们可以得出结论：1/ 是 __P2__ 的特征值，其特征向量为 __P3__ '。由每个特征值的倒数也是特征值这一事实，我们可以推导出变换 __P4__ 的行列式为1，而行列式正是特征值的乘积。

特征值必须与倒数及复共轭关联这一约束，在高维情形下恰好产生一种新的特征值模式。图4.5展示了唯一可能的新模式。

我们已经看到，不动点的李雅普诺夫指数与不动点的特征乘子相关，因此对乘子的哈密顿约束对应于不动点处李雅普诺夫指数的哈密顿约束。对于每个特征乘子，其倒数也是特征乘子。这意味着在不动点处，对于每个正的李雅普诺夫指数，存在一个相应的大小相等的负李雅普诺夫指数。事实证明，即使参考轨迹不在不动点处，这一性质也成立。对于哈密顿系统，对于每个正的李雅普诺夫指数，存在一个相应的大小相等的负指数。

练习 4.4. Quartet

描述（或许通过绘制截面图）四重组可能产生的轨道。

线性稳定性与非线性稳定性

线性不稳定的不动点意味着完整系统在该点是不稳定的。这意味着起始于不动点附近的轨迹会从不动点发散。另一方面，不动点的线性稳定性通常并不能保证完整系统在该点是稳定的。对于二自由度哈密顿系统，Kolmogorov-Arnold-Moser 定理证明，在一定条件下线性稳定性意味着非线性稳定性。然而，在高维情形下，尚不清楚线性稳定性是否意味着非线性稳定性。