4.1 分裂相空间的涌现

我们可以通过考虑那些通过改变参数来开启附加效应的系统，来深入了解这些行为上的定性变化。对于某个参数值，系统拥有足够的守恒量，从而可以化为求积问题；当我们使参数偏离此值时，可以研究分裂相空间如何出现。受驱摆为此类系统提供了一个典型例子。若驱动振幅为零，则受驱摆的解与未受驱摆的解相同。我们已经看到强驱动摆的截面图，展示了分裂相空间。这里我们将缓慢增大驱动，研究相图如何变化。

零振幅驱动下受驱摆的运动与未受驱摆相同。摆的运动已在第3.3节中描述。能量守恒，因此所有轨道都是相平面中哈密顿量的等高线（见图4.1）。相平面中存在三个具有定性不同运动类型的区域：摆来回摆动的区域、摆单向循环的区域，以及相反方向循环的区域。在摆动区域的中心有一个稳定平衡点，此时摆静止悬挂。在这些区域的边界上，摆渐近地趋于不稳定平衡点，此时摆竖直向上站立。存在两条渐近轨道，对应于趋近该平衡点的两种方式。每一条轨道在时间反演下也渐近地趋于该不稳定平衡点。

零驱动下的受驱摆截面

现在考虑周期性受驱摆，但驱动振幅为零。受驱摆的状态由角度坐标、其共轭动量以及周期驱动的相位共同确定。在零振幅驱动下，该“受驱”摆的演化与未受驱摆相同。驱动的相位不影响演化，但我们仍将驱动相位视为状态的一部分，以便给出统一的描述，从而将零振幅驱动情形与非零振幅情形纳入同一框架。

对于受驱摆，我们通过在驱动周期处采样状态并绘制角动量随角度变化的图来制作频闪截面（见图4.2）。对于零振幅驱动，截面点被限制在未受驱摆轨迹所描绘的曲线上。对于我们在单自由度问题中看到的每一类轨道，受驱摆都存在相应的轨道，在截面上生成对应的点图案。

摆的平衡点处的两条静止轨道在截面上表现为点。平衡点是庞加莱映射的不动点。

摆的摆动轨道的截面点落在哈密顿量的相应等高线上。摆的循环轨道的截面点同样被限制在哈密顿量的相应等高线上。我们注意到，不同等高线上的轨道产生的点的外观是不同的。通常，如果我们在截面上收集更多的点，这些点最终会填满整条等高线。然而，实际上存在两种可能性。请记住，不同的摆的轨道周期不同。如果摆的周期与驱动周期可通约，则截面上只会出现有限个点。两个周期若其中一个为另一个的有理数倍，则称为可通约。若两个周期不可通约，则截面点永不重复。事实上，这些点会稠密地填满整条等高线，任意接近等高线上的每一点。

摆的渐近轨道的截面点落在包含鞍点的哈密顿量等高线上。每条渐近轨道生成一列孤立点，这些点积聚在不动点附近。没有任何单个轨道能填满截面上的分界线。

小驱动下的受驱摆截面

现在考虑小振幅驱动下的截面（见图4.3）。驱动振幅为 A = 0.001 m；驱动频率为 4.2 0，其中 0 = (g/l)1/2。截面的整体外观与零振幅驱动时的截面相似。许多轨道看似位于不变曲线上，类似于零驱动情形的不变曲线。然而，出现了几个新的特征。

现在出现了与摆同步驱动旋转相对应的共振区域。这些特征出现在截面的上、下循环区域中。每个共振岛都有一个不动点，在该点摆恰好每驱动周期旋转一次。一般而言，截面上的不动点对应于系统在全相空间中的周期运动。不动点位于 ± ，表明在截面的驱动相位处摆处于竖直状态。对于共振区域中偏离不动点的轨道，截面上的点显然生成包围不动点的曲线。1 对于这些轨道，摆平均每驱动周期旋转一次，但摆的相位有时超前于驱动，有时滞后于驱动。

非零振幅驱动下还会出现其他共振岛。在中心摆动区域有一个六重次级岛链。对于这条轨道，摆处于摆动状态，且摆动周期与驱动周期可通约。这六个岛均由单条轨道生成。事实上，这些岛按顺时针方向被依次访问。经过六个驱动周期后，截面点返回到同一个岛，但落在岛曲线上的不同位置，经过多次迭代后逐渐积累形成岛曲线。摆的运动并非周期性的，而是锁定在一种共振中，使得它平均每六个驱动周期摆动一次。

另一个出现的特征是在零振幅驱动摆的分界线附近存在一个狭窄的混沌区域。我们发现混沌行为通常最显著地出现在分界线附近。这并不令人意外，因为对于分界线附近的轨道，区分摆是旋转还是摆动的速度差异很小。当摆接近顶部时，它是否能获得越过顶部所需的额外推动取决于驱动的相位。

实际上，那些摆周期等于驱动周期的共振岛的视在分界线，每条都是由混沌轨道生成的。要看到这条轨道看似占据了一个区域，需要将图像放大约 104 倍。

随着驱动振幅增大，主要的定性变化是共振岛和混沌区域的出现。零驱动情形的一些定性特征仍然保留。例如，许多轨道看似位于不变曲线上。这种行为并非受驱摆所特有；当在可化为求积问题的问题中加入附加效应时，类似的特征相当普遍地出现。本章致力于更详细地理解这些一般性特征是如何产生的。