第4章 相空间结构

我们已经看到在多种系统的庞加莱截面中出现了相当复杂的特征。我们在各种系统中看到了不动点、不变曲线、共振岛和混沌区域，这些系统包括驱动摆、非轴对称陀螺、埃农-海莱斯系统以及卫星的自旋-轨道耦合。事实上，即使在标准映射中——其中不存在由截面采样的连续过程——相空间也显示出类似的特征。

其他系统的运动则更简单。对于某些系统，守恒量可用于将求解过程简化为定积分的求值。一个例子是轴对称陀螺。两个对称性意味着存在两个守恒动量，而哈密顿量的时间无关性意味着能量守恒。利用这些守恒量，确定运动可简化为对倾斜角作为时间函数的周期运动进行定积分求值。这样的系统不表现出混沌行为；在截面上，守恒量将所记录的点约束在曲线上。我们可以推测，如果截面上的点明显不落在曲线上，则不存在足够的守恒量将求解过程简化为求积。

我们已经看到许多实例，其中系统的行为随着附加效应的加入而发生质的变化。自由刚体可以简化为求积，但在自旋-轨道系统中加入重力梯度力矩则产生了熟悉的规则运动与混沌运动的混合。轴对称陀螺的运动也可简化为求积，但如果陀螺变成非轴对称的，则会出现分割的相空间。埃农和海莱斯研究的具有经典分割相空间的系统，可以被视为可解的一对具有非线性耦合项的谐振子。摆的运动是可解的，但驱动摆具有分割的相空间。

我们观察到，随着附加效应的开启，相空间中会发生质的变化。共振岛出现，混沌区域出现，一些不变曲线消失，但另一些则持续存在。为什么共振岛会出现？混沌行为是如何产生的？不变曲线何时持续存在？我们能否得出任何一般性结论？