3.9 标准映射

我们已经看到，多个不同问题的截面图在定性上非常相似。它们都显示出两种性质不同的运动类型：规则运动和混沌运动。它们表明这些类型的轨道是成簇出现的：截面上有些区域主要是规则轨迹，另一些区域则以混沌行为为主。我们还看到了随着某个参数的变化向大尺度混沌行为的转变。现在我们已经了解到，将二维截面图上的点映射到截面图上新点的映射是面积保持的。这些截面图到自身的映射（据我们目前所知）唯一共有的性质是它们保持面积。除此之外，它们截然不同。假设我们考虑一个截面图到自身的抽象映射，该映射是面积保持的，而不考虑该映射是否由某个动力学系统生成。面积保持映射是否表现出类似的现象？还是说映射的动力学起源对我们迄今发现的现象至关重要？34

考虑一个相平面到自身的映射，该映射用动力学变量及其“共轭动量”I定义为：

这个映射被称为“标准映射”。35标准映射的一个奇特特征是动量变量I被处理为角度量。该映射的导数的行列式为1，表明该映射是面积保持的。

我们可以实现标准映射：

(define ((standard-map K) theta I return failure)
  (let ((nI (+ I (* K (sin theta)))))
    (return ((principal-value :2pi) (+ theta nI))
            ((principal-value :2pi) nI))))

我们使用前面引入的explore-map过程，通过指点设备交互式地探索截面图。例如，要探索参数K = 0.6时的截面图，我们使用：

(define window (frame 0.0 :2pi 0.0 :2pi))
(explore-map window (standard-map 0.6) 2000)

通过指针选取的不同轨道所得的截面图如图3.27所示。

截面图确实在定性上与动力学系统生成的截面图相似。

K = 1.4时的截面图（如图3.28所示）以一个大混沌区域为主。标准映射在K ≈ 1附近表现出向大尺度混沌的转变。因此，这种相平面到自身的抽象面积保持映射所表现的行为，与哈密顿动力学系统生成的截面图中的行为相似。显然，动力学在相空间中的面积保持性质对力学系统轨迹的许多有趣性质起着决定性作用。

练习3.13. Hénon二次映射的乐趣 考虑由以下方程定义的平面映射：

a. 证明该映射保持面积。

b. 将该映射实现为一个过程。x和y的有趣范围是(-1, 1)。会有逃逸的轨道。当x和y的值逸出此范围时，应进行检查并调用失败续延。

c. 在参数的几个值下探索该映射的相图。该映射在 = 1.32和 = 1.2时特别有趣。在两者之间发生了什么？