3.8 刘维尔定理

如果状态系综在某一时刻占据了相空间的特定体积，那么该体积随后在哈密顿方程描述的流动下的演化可能会扭曲系综，但不会改变系综所占的体积。相空间体积在相流作用下保持不变这一事实称为刘维尔定理。

我们将首先通过一个简单例子说明相空间体积的保持，然后给出一般性证明。

摆的相流

考虑由以下哈密顿量描述的无驱摆：

在图3.25中，我们看到了摆的振荡区域内一个椭圆区域围绕轴上的点的演化。展示了该区域的三个后续位置。该区域被流动拉伸和剪切，但面积保持不变。经过多个周期后，初始区域将被拉伸成一个分布在摆的相角上的薄层。

图3.26展示了横跨不稳定平衡点附近分界线31的一个区域（在更小的时间间隔内）的类似演化。相空间区域沿分界线迅速拉伸，同时保持面积不变。起始于振荡区域（分界线内部）的初始条件将继续扩散成一个薄环状区域，而起始于分界线外部的初始条件将扩散成旋转区域外部的一个薄层。

刘维尔定理的证明

考虑一组形如以下形式的常微分方程

其中z是一个由N个状态变量组成的元组。设R(t1)为在时刻t1时状态空间的一个区域。该区域的每个元素是系统在时刻t1的一个初始条件，并根据微分方程演化到时刻t2的一个元素。时刻t2的这些元素的集合就是区域R(t2)。区域演化为区域。

系统在时间间隔t上的演化定义了从状态空间到自身的映射gt, t：

区域通过映射其中的每个元素来映射到区域：

区域R(t)的体积V(t)为R(t) ，其中是对每个输入取值均为1的函数。演化后的区域R(t + t)的体积为

其中Jac(gt, t)是映射gt, t的雅可比行列式。雅可比行列式是映射的导数的行列式。

对于小的t

因此

其中I是恒等函数，因此DI(z(t))是一个单位乘子。我们可以利用以下事实：如果__P5__是一个N×N方阵，那么

可证

其中

因此

所以在时刻t体积的变化率为

现在我们对由哈密顿量H描述的系统计算Gt。z的分量是坐标和动量的分量：zk = qk，zk+n = pk，其中k = 0, ..., n - 1。F的分量为

对于k = 0, ..., n - 1。导数F的对角分量为

分量偏导数可交换，因此索引为k和k + n的对角分量大小相等、符号相反。我们看到迹，即这些对角分量之和，为零。因此Gt在区域R(t)上的积分为零，所以时刻t的体积导数为零。由于t是任意的，体积不发生变化。这就证明了刘维尔定理：相空间流保持相空间体积不变。

注意，刘维尔定理的证明不依赖于哈密顿量是否显式依赖于时间。刘维尔定理对含时哈密顿量的系统也成立。

我们可以将所有可能状态的系综想象为在动力学控制下流动的流体。刘维尔定理表明，对于哈密顿系统，这种流体是不可压缩的。

练习3.11. 行列式与迹 证明方程(3.152)是正确的。

频闪截面图的面积保持

如果截面图的坐标是相空间坐标和动量，那么周期驱动哈密顿系统的截面图是面积保持的。这是截面图的一个重要特征。它是单自由度问题的刘维尔定理的一个推论。

同样，我们在Hénon-Heiles问题中使用的截面图也是面积保持的，但我们暂时还不能证明这一点！

庞加莱回归

庞加莱回归定理是一个引人注目的定理，它是刘维尔定理的一个平凡推论。粗略地说，该定理断言几乎所有轨迹最终都会任意接近其起始点。无论轨迹是混沌的还是规则的，这一点都成立。

更精确地说，考虑一个相空间为有界域D的哈密顿动力学系统。我们在相空间中确定某个初始点，记为z0。那么，对于我们选择的z0的任意有限邻域U，都存在从该邻域内的初始点出发并最终返回该邻域的轨迹。

我们可以通过考虑U在时间演化下的逐次像来证明这一点。为简便起见，我们将考虑限制在时间间隔的时间演化上。由时间间隔的演化生成的相空间到自身的映射称为C。映射的逐次应用生成离散时间演化。相空间中的点集通过演化集合中的所有点进行变换；集合U的像记为C(U)。现在考虑集合U的轨迹，即集合Cn(U)，其中Cn表示n次C的复合。现在有两种可能性：要么逐次像Ci(U)相交，要么不相交。如果它们不相交，那么每次迭代都会“消耗”掉大小为U体积的D体积，并且这些体积不能属于后续的像。但D的体积是有限的，因此我们无法在其中容纳无限多个不相交的有限体积。因此，经过一定次数的迭代后，这些像必然相交。假设Ci(U)与Cj(U)相交，为确定起见，设j<i。那么每个像的原像也必须相交，因为交集中某点的原像同时属于这两个集合。因此Ci-1(U)与Cj-1(U)相交。这一过程可以持续进行，直到最终我们得到Ci-j(U)与U相交。这样我们就证明了，在映射C的i - j次迭代之后，存在一组初始在U中的点返回到邻域U。

因此，对于相空间中每一点的每个邻域，都存在一个子邻域，使得从该子邻域中所有点出发的轨迹都返回该子邻域。因此，几乎所有轨迹都会任意接近其起始点。

房间角落的气体

假设我们在一个完全密闭的房间中有一组N个经典原子。该系统的相空间维度为6N。相空间中的一点记为z。假设最初所有原子都位于，比如说，距离一个角落一厘米的范围内，并具有任意选取的有限速度。这对应于相空间中的某个初始点z0。系统的相空间在空间上受房间限制，在动量上受能量守恒限制；相空间是有界的。回归定理于是表明，在z0的邻域内存在系统的一个初始条件，该条件经过一段时间后返回到z0的邻域。对于单个原子而言，这意味着经过一段时间后，所有原子将再次出现在房间的角落里，一次又一次。这不禁让人对热力学第二定律产生疑问，不是吗？32

哈密顿系统中吸引子的不存在性

某些系统具有吸引子。吸引子是相空间中吞噬轨迹体积的一个区域。对于一个吸引子，存在某个更大的区域——吸引域——使得具有非零体积的轨迹集合最终进入吸引子并永不离开。回归定理表明，具有有界相空间的哈密顿系统没有吸引子。考虑所提议吸引域中的某个候选体积。回归定理保证候选体积中的某些轨迹会反复返回该体积。因此，该体积不位于吸引域中。在具有有界相空间的哈密顿系统中，吸引子不存在。

这并不意味着每条轨迹都一定会返回。一个简单的例子是摆。假设我们取一团横跨分界线的轨迹，分界线是渐近逼近摆指向向上的不稳定平衡点的轨迹。能量高于分界线的轨迹会绕一整圈并返回到初始点；能量低于分界线的轨迹会摆动一次并返回初始位置；但分界线轨迹本身会永久离开初始区域，并不断趋近不稳定点。

耗散系统中的相体积守恒

耗散系统的定义并不那么清晰。对一些人来说，“耗散”意味着相空间体积不守恒，这与系统的演化不受哈密顿方程支配的说法相同。对另一些人来说，“耗散”意味着存在摩擦，表示能量损失到未建模的自由度中。这里有一个奇特的例子。阻尼谐振子是耗散系统的典范。这里我们将证明，阻尼谐振子可以用哈密顿方程描述，并且相空间体积是守恒的。

阻尼谐振子由常微分方程

其中是阻尼系数。我们可以用拉格朗日量33来表述这个系统

该拉格朗日量的拉格朗日方程为

由于指数函数永不为零，该方程与上述方程(3.159)具有相同的轨迹。

x的共轭动量为

哈密顿量为

对于这个系统，哈密顿量不是质量运动动能与弹簧存储势能之和。哈密顿量的值不守恒（H ≠ 0）。哈密顿方程为

让我们考虑一个数值案例。设m = 5，k = 1/4， = 3。这里线性常系数常微分方程(3.159)的特征根为s = -1/10, -1/2。因此解为

其中A1和A2由初始条件确定

因此我们可以构成从初始状态到最终状态的变换：

变换是线性的，因此面积通过行列式进行变换，在本例中行列式为1。因此，与直觉相反，相空间体积是守恒的。那么为什么这与哈密顿系统中没有吸引子的说法并不矛盾呢？答案是庞加莱回归论证仅对有界相空间成立。在这里，动量随时间呈指数增长（坐标则收缩），因此它是无界的。

我们不应该对理论通过这种方式避免明显悖论感到过于惊讶——即相体积守恒，尽管所有轨迹都衰减到零速度和坐标。刘维尔定理的证明允许含时的哈密顿量。在这种情况下，我们能够通过这样一个含时哈密顿量来模拟耗散。

练习3.12. 含时系统 为了使刘维尔定理对含时系统成立这一事实更加具体，扩展第3.8节的结果，展示一组勾勒出driven摆相空间面积的初始点如何随演化而变形。为其中某个有趣的情况构造类似于图3.25和3.26的图片，其中我们使用了截面图。相空间不同部分的形变看起来是否不同？有何不同？

分布函数

我们只能近似地知道系统的状态。合理的做法是用可能状态集上的概率密度函数来建模我们的知识状态。给定这种不完整信息，可能的后果是什么？随着系统的演化，密度函数也在演化。刘维尔定理为我们处理这类问题提供了方法。

设f(t, q, p)为时刻t时相空间上的概率密度函数。要使这是一个好的概率密度函数，我们需要f在所有坐标和动量上的积分为1——系统一定在某处。

有一组轨迹在特定时刻穿过相空间的某个特定区域。这些轨迹既不会产生也不会消失，它们作为一束轨迹在稍晚时刻到达相空间的另一个区域。刘维尔定理告诉我们，源区域的体积与目标区域的体积相同，因此密度必须保持恒定。因此D(fo) = 0。如果系统由哈密顿量H描述，那么

因此我们可以得出结论

或

由于这在每一时刻都必须成立，并且从相空间中的每一点都有一条解轨迹发出，我们可以从解路径中抽象出来，推导出对f的一个约束：

这个线性偏微分方程支配着密度函数的演化，因此展示了我们的知识状态如何演化。