3.10 小结

拉格朗日方程是关于时间、广义坐标、广义速度和广义加速度的n个二阶常微分方程组。轨线由某一时刻的坐标和速度决定。

哈密顿方程将动力学描述为关于时间、广义坐标和共轭动量的一阶常微分方程组。相空间轨线由相空间中某一时刻的初始点决定。

哈密顿表述和拉格朗日表述是等价的，等价的初始条件产生相同的位形路径。

如果问题的对称性自然地表现为循环坐标，那么共轭动量守恒。在哈密顿表述中，这种对称性自然地导致问题困难部分的相空间维数降低。如果有足够的对称性，那么确定时间演化的问题可简化为定积分的求值（简化为求积）。

没有足够对称性以简化为求积的系统可以通过截面法进行有效研究。这对于约化后具有两个自由度或具有一个自由度但含显式周期时间依赖性的系统特别有利。

截面揭示了相空间中的巨大结构。存在混沌区域和规则行为的岛屿。当参数在基本规则运动和基本混沌运动之间变化时，会出现有趣的转变。

混沌轨线表现出对初始条件的敏感依赖性，与邻近轨线呈指数分离。规则轨线不表现出这种敏感性。奇特的是，混沌轨线既通过其探索空间的维度又通过其指数发散来区分。

相空间中一个2n维区域的时间演化保持体积不变。哈密顿流是“相流体”的

二自由度系统和周期驱动的单自由度系统的截面是保面积的。将相平面映射到自身的抽象保面积映射显示出与动力学系统生成的截面相同的相空间划分——分为混沌区域和规则区域。它们也显示出向大规模混沌的转变。