3.7 指数发散

Hénon和Heiles发现，混沌轨迹对初始条件的微小变化具有显著的敏感性——初始邻近的混沌轨迹大致随时间呈指数分离。另一方面，规则轨迹不表现出这种敏感性——初始邻近的规则轨迹大致随时间呈线性分离。

考虑Hénon-Heiles问题中两个初始邻近轨迹的演化，能量E = 1/8。设d(t)为在x, y, px, py空间中两个轨迹在时刻t的通常欧几里得距离。图3.23展示了d(t)/d(0)的常用对数作为时间t的函数。我们看到发散很好地被描述为指数形式。

另一方面，两个初始邻近的规则轨迹之间的距离增长要缓慢得多。图3.24展示了两个规则轨迹之间的距离作为时间的函数。该距离随时间线性增长。

值得一提的是，哈密顿系统具有如此截然不同类型的轨迹。在截面图上，混沌轨迹和规则轨迹在它们所探索的空间维度上有所不同。有趣的是，伴随这种维度的差异，混沌轨迹和规则轨迹的分离方式也存在巨大差异。对于更高维的系统，截面图技术不那么有用，但轨迹仍然可以通过邻近轨迹的发散方式来区分：有些呈指数发散，而另一些则近似线性发散。指数发散是混沌行为的标志。

指数发散率由log(d(t)/d(0))图的斜率来量化。我们可以通过选择邻近轨迹'来估计特定相空间轨迹附近的轨迹指数发散率，并计算

其中d(t) = || '(t) - (t) ||。这种“双轨迹”方法的一个问题如图3.23所示。对于强混沌轨迹，两个初始邻近的轨迹很快就会发现彼此相距尽可能远。一旦发生这种情况，距离就不再增长。轨迹发散率的估计受到这种“饱和”的限制。

我们可以通过研究变分方程组来改进这种方法。设

为支配系统演化的方程组。邻近轨迹z'满足

这些轨迹之间的差 = z' - z满足

如果很小，我们可以用导数来近似右端项

这组常微分方程称为系统的变分方程。它在中是线性的，并由z驱动。

设d(t) = || (t) ||；那么发散率可以像之前一样估计。这种“变分法”的优点是(t)可以变得任意大，其增长仍然衡量邻近轨迹的发散。从图3.23中可以看出，在双轨迹方法达到饱和的点之前，变分法给出的结果与双轨迹方法几乎相同。30

李雅普诺夫指数定义为(t)在无穷时间极限下的值，由方程(3.140)定义，其中距离d通过变分法计算。实际上，每条轨迹有多个李雅普诺夫指数，取决于变分的初始方向。对于N维系统，存在N个李雅普诺夫指数。对于随机选取的(t0)，(t)随后的增长具有随每个李雅普诺夫指数增长的成分。然而，一般而言，(t)的增长将由最大指数主导。最大李雅普诺夫指数因此可以解释为邻近轨迹指数发散的典型速率。最大的两个李雅普诺夫指数之和可以解释为二维面元面积增长的典型速率。这种解释可以推广到更高维的元：体元体积的增长速率是所有李雅普诺夫指数之和。

在哈密顿系统中，李雅普诺夫指数必须满足约束条件，我们将在后面证明。李雅普诺夫指数成对出现：对于每个李雅普诺夫指数，其相反数-也是一个指数。对于每个守恒量，其中一个李雅普诺夫指数为零，其相反数也为零。因此，李雅普诺夫指数可用于检查守恒量的存在。哈密顿系统的李雅普诺夫指数之和为零，因此体元不会呈指数增长。我们将在下一节看到，哈密顿系统的相空间体积实际上是守恒的。