3.6 截面

计算机械系统的演化只是理解动力学的开始。通常，我们想要了解的远不止某个特定轨迹的相空间演化。我们希望获得对运动的定性理解。我们想知道哪些类型的运动是可能的，以及一种类型如何与其他类型相关联。我们希望能从可以计算的无数的特定演化中抽象出本质的动力学。矛盾的是，事实证明，通过丢弃关于一个轨迹的大部分已计算信息，我们获得了关于该轨迹特征及其与其他轨迹关系的关键新信息。

一种通过丢弃信息来提取本质的卓越工具，是一种称为截面或庞加莱截面的技术。22 截面的生成方式是观察轨迹或一组轨迹与相空间中一个平面的相继交点。通常，该平面由一个坐标轴及其正则共轭动量轴张成。我们将看到，以这种方式制作的截面具有良好的性质。

截面技术在 1964 年天文学家 Michel Hénon 和 Carl Heiles 里程碑式的论文 [22] 中得到了引人注目的应用。在他们的数值研究中，他们发现有些轨迹是混沌的，而另一些轨迹则是规则的。混沌运动的一个基本特征是，初始邻近的轨迹随时间呈指数分离；规则轨迹的分离则是线性的。23 他们发现，这两种类型的轨迹在相空间中通常聚集为规则运动区域和混沌运动区域。

3.6.1 周期性驱动系统

对于周期性驱动系统，截面是演化的频闪观测视图；我们只考虑系统在频闪时刻的状态，频闪周期等于驱动周期。我们通过计算若干轨迹，并在驱动通过某个特定相位时积累每条轨迹的相空间坐标，来生成周期性驱动系统的截面。设 T 为驱动周期；那么，对于每条轨迹，截面积累的相空间点为 ( q(t), p(t) ), ( q(t + T), p(t + T) ), ( q(t + 2T), p(t + 2T) )，依此类推（见图 3.11）。对于具有单个自由度的系统，我们可以在 q 与 p 的平面上绘制这一系列相空间点。

对于周期性驱动系统的频闪截面，驱动相位对所有截面点都相同；因此，截面中的每个相空间点，连同已知的驱动相位，可以被视为轨迹余下部分的初始条件。特定截面点的绝对时间不影响后续演化；唯一重要的是驱动相位具有截面所指定的值。因此，我们可以将动力学演化视为生成一个映射，该映射取相空间中的一个点，并在系统演化一个驱动周期后生成相空间中的一个新点。这个将相空间映射到自身的映射称为庞加莱映射。

图 3.12 展示了驱动单摆的一个庞加莱截面示例。我们绘制了若干不同初始条件的截面点。我们立即看到了动力系统的一个新侧面。对于某些初始条件，后续的截面点似乎在截面中填满了一组曲线。对于其他初始条件则并非如此：截面点的集合散布在截面的一个区域中。事实上，图 3.12 中 all 的散布点都是由单个初始条件生成的。截面表明存在性质上不同的轨迹类别，它们由所探索的截面子空间的维数来区分。

在截面上填满曲线的轨迹称为 regular 轨迹或拟周期轨迹。规则轨迹所填满的曲线是不变曲线。它们是不变的，体现在：如果一个轨迹的某个截面点落在一条不变曲线上，那么所有后续点都落在同一条不变曲线上。换句话说，庞加莱映射将不变曲线上的每一点都映射到该不变曲线上。

那些看起来填满区域的轨迹称为 chaotic 轨迹。对于这些点，初始邻近点在相空间中的距离平均随时间呈指数增长。24 相比之下，对于规则轨迹，初始邻近点在相空间中的距离平均随时间呈线性增长。

相空间似乎在宏观上聚集成不同的区域。某些区域中的初始条件主要产生规则轨迹，而其他区域中的初始条件主要产生混沌轨迹。这种相空间在宏观上划分为性质不同的轨迹类型被称为分割相空间。我们稍后将看到，在这个尺度下显现的结构远不止这些，并且在放大后会看到混沌区域和规则区域在越来越精细的尺度上复杂交织。事实上，我们将看到，许多在截面上看似生成曲线的轨迹，在放大后实际上是混沌的，并且填满了一个微小的区域。我们还将发现，有些轨迹位于截面的一维曲线上，但只探索该曲线的一个子集，该子集是通过切除无穷多个孔洞而形成的。25

在驱动单摆截面上看到的特征具有相当的普遍性。同样的现象在大多数动力系统中都能看到。一般来说，既存在规则轨迹也存在混沌轨迹，并且具有分割相空间的聚集特征。具体细节取决于系统，但基本现象是普遍的。当然，我们两方面都感兴趣：所有系统共有的现象，以及我们所关注的特定系统的具体细节。

周期性驱动单摆的截面具有特定的特征，为我们提供了关于该系统行为方式的定性信息。图 3.12 中的中央岛是未受迫单摆振荡区域的残留（见 3.3 节图 3.4）。这里有一个相当大的规则轨迹区域，在某种意义上类似于未受迫单摆的轨迹。在这个区域中，单摆来回振荡，与未驱动单摆大致相同，但驱动使其在振荡过程中发生了微小摆动。截面点都收集在驱动的同一相位处，因此我们在截面上看不到这些摆动。

中央岛被一个大的混沌区域包围。因此，具有类似未受迫轨迹的规则轨迹的相空间区域是有限的。在截面上，这个“稳定”区域的边界显然相当明确——从平滑的规则不变曲线到混沌运动存在一个突然的过渡，混沌运动可以将系统带到远离该规则运动区域的地方。

还有另外两个相当大的规则行为区域。这些区域中的轨迹与驱动共振，平均而言每个驱动周期完成一整圈旋转。这两个岛的区别在于旋转方向的不同。在这些区域中，单摆正在进行完整的旋转，但旋转被锁定到驱动上，因此截面上的点只出现在具有有限角度范围的岛中。特定轨迹的点围绕岛运动的事实意味着，单摆有时比驱动更快地完成一个周期，有时比驱动更慢，但从未失去锁定。

每个规则区域都有有限的延伸范围。因此，从截面我们可以直接看到那些保持与驱动共振的初始条件的范围。在规则区域之外，初始条件会导致混沌轨迹，这些轨迹演化到远离共振区域的地方。

各种高阶共振岛也是可见的，还有非共振的规则旋转轨道。因此，截面为我们提供了可能的主要运动类型及其相互关系的概览。

改变参数会显示其他有趣的现象。图 3.13 显示了当驱动频率是未驱动单摆小振幅自然振荡频率的两倍时的截面。该截面有一个大的混沌区域，其中包含一组有趣的岛。中央平衡发生了失稳，我们看到的不是中央岛，而是两个偏离中心的岛。这些岛被交替访问，一个接一个。随着支点上下运动，单摆交替地向一侧倾斜，然后向另一侧倾斜。单摆需要两个驱动周期才能再次访问同一个岛。因此，系统发生了“倍周期”。一个岛被一个倍周期对取代。注意其他岛仍然存在。混沌区域顶部和底部的岛是共振岛，其中单摆平均每驱动周期完成一整圈。注意，和之前一样，如果单摆快速旋转，运动是规则的。

一个令人惊讶的事实是，如果我们足够快地晃动单摆的支点，单摆可以直立。这一现象可以通过截面来可视化。图 3.14 显示了驱动频率远大于自然频率时的截面。单摆可以直立，因为在倒置平衡位置处存在一个规则岛。截面显示，对于一定范围的偏离竖直的初始位移，单摆可以保持直立。

3.6.2 计算频闪截面

我们已经有了单摆的系统导数，我们可以用它来构造一个用于构建庞加莱截面的参数化映射：

(define (driven-pendulum-map m l g A omega)
  (let ((advance (state-advancer H-pend-sysder m l g A omega))
        (map-period (/ :2pi omega)))
    (lambda (theta ptheta return fail)
      (let ((ns (advance
                  (up 0 theta ptheta)  ; initial state
                  map-period)))        ; integration interval
        (return ((principal-value :pi) (coordinate ns))
                (momentum ns))))))

一个映射过程接收两个截面坐标（这里是 theta 和 ptheta）以及两个“延续”过程。如果给定的截面坐标在映射的定义域内，它产生两个新的截面坐标并将它们传递给 return 延续过程，否则映射过程调用不带参数的 fail 延续过程。26

映射的轨迹可以通过“交互式”界面来探索。过程 explore-map 让我们使用指点设备为轨迹选择初始条件。例如，图 3.12 中的截面是通过绘制若干轨迹生成的，使用指针对初始条件进行选择，程序如下：

(define win (frame :-pi :pi -20 20))
(let ((m 1.0)                        ;m=1kg
      (l 1.0)                        ;l=1m
      (g 9.8)                        ;g=9.8m/s²
      (A 0.05))                      ;A=1/20m
  (let ((omega0 (sqrt (/ g l))))
    (let ((omega (* 4.2 omega0)))
      (explore-map
       win
       (driven-pendulum-map m l g A omega)
       1000))))                      ;1000 points for each ic

练习 3.10. 相图的乐趣 选择一个你感兴趣且可以用周期性驱动来驱动的单自由度动力系统。构建一个我们为驱动单摆所做的那类映射，并进行一些探索。是否存在混沌区域？所有混沌区域是否连接在一起？

3.6.3 自治系统

我们通过周期性驱动的单自由度系统说明了使用庞加莱截面来可视化相空间定性特征的方法，但这一思想更具一般性。这里我们展示 Hénon 和 Heiles [22] 如何使用截面来阐明一个自治系统的性质。

Hénon-Heiles 背景

在 60 年代初，天文学家们陷入困境。对银河系附近恒星运动的精确测量使得可以确定观测运动的特定统计平均值，而这些平均值与预期完全不符。具体来说，计算的是速度弥散度：速度与平均值的均方根偏差。我们用尖括号表示对邻近恒星的统计平均：< w > 是星群中某个量 w 的平均值。平均速度为 < >。速度弥散度的分量为

如果我们使用柱坐标 (r, , z) 并将坐标轴与银河系对齐，使得 z 垂直于银道面，而 r 随到银心的距离增加，那么速度弥散度的两个特定分量为

当时人们预期这两个速度弥散度分量应当相等。但实际上发现它们相差约一个因子 2：r 约等于 2 z。问题出在哪里？当时文献中有大量讨论，探讨可能是什么地方出了问题。是某种观测选择效应吗？速度测量有误吗？用于推导预期比值的基本假设是否没有被充分满足？例如，推导假设银河系近似为轴对称，也许银河系势的非轴对称分量是罪魁祸首。结果证明，问题要深刻得多。对运动的理解本身就是错误的。

让我们回顾一下速度弥散度分量之间预期关系的推导过程。我们希望给出银河系中恒星分布的统计描述。我们引入相空间分布函数 f(, )，它给出了在位置 处找到具有动量 的恒星的概率密度。27 将该密度在相空间的某个有限体积上积分，就得到在该相空间体积中找到一颗恒星的概率（在空间的该区域中，动量处于指定的范围内）。我们假设概率密度是归一化的，使得在整个相空间上的积分给出单位概率；恒星必然在某处并具有某种动量。用 f 表示，任何动力学量 w 在相空间某个体积 V 上的统计平均就是

其中积分在相空间体积 V 上延展。在计算某点 处的速度弥散度时，我们通过对所有动量进行积分来计算平均值。

单颗恒星在银河系其余部分的引力势中运动。假设银河系中恒星的整体分布不随时间显著变化，或者变化非常缓慢，这并非不合理。银河系中的恒星密度实际上非常小，恒星的近距离相遇非常罕见。因此，我们可以将银河系的引力势建模为一个固定的外部势，单颗恒星在其中运动。银河系近似为轴对称。我们假设偏离严格轴对称不是显著效应，因此取模型势为严格轴对称的。

考虑一个质点（恒星）在轴对称势（银河系势）中的运动。在柱坐标中，哈密顿函数为

其中 V 不依赖于 。由于 不出现，我们知道共轭动量 p 是常数。对于任何特定恒星的运动，我们可以将 p 视为一个参数。因此有效哈密顿函数具有两个自由度：

其中

哈密顿函数的值 E 是常数，因为哈密顿函数中没有显式的时间依赖。因此，我们有运动常数 E 和 p。

金斯“定理”断言分布函数 f 只依赖于运动积分的值。也就是说，我们可以引入一个不同的分布函数 f'，它代表相同的物理分布：

在当时，有充分理由相信这可能是正确的。首先，显然分布函数至少依赖于 E 和 p。问题是，“给定能量 E 和角动量 p，什么样的运动是允许的？”积分显然限制了演化。演化是否会将系统带到满足这些已知约束的相空间中的每一个点？在 20th 世纪初，这似乎是合理的。统计力学是成功的，而统计力学正是做了这样的假设。也许还存在其他尚未发现的运动积分？庞加莱证明了一个关于运动积分的重要定理。庞加莱证明了，动力系统的大多数积分通常在系统受到扰动后不再保持。也就是说，如果对一个问题添加一个小扰动，那么原问题的大多数积分在受扰问题中没有类似物。这些积分被破坏了。当然，如果受扰系统具有相同的对称性，由问题对称性产生的积分会继续被保持。因此，在施加任何轴对称扰动后，角动量仍然保持。庞加莱定理是正确的，但接下来的推论却不正确。作为庞加莱定理的一个推论，Fermi 在 1920 年发表了一个遍历定理的证明，声称受扰问题的运动通常是遍历的，28 只受对称性产生的积分所施加的约束的限制。粗略地说，这意味着轨迹会去往积分约束所允许的任何地方。Fermi 的定理后来被证明是不正确的，但基于这一定理，我们可以预期，通常系统会充分探索相空间，只受对称性产生的积分所施加的约束的限制。那么假设恒星在银河系势中的演化只受 E 和 p 守恒的约束。我们将看到这并不成立，但如果是这样，我们就可以得出结论，银河系中恒星的分布函数也只能依赖于 E 和 p。

给定这种形式的分布函数，我们可以推导出速度弥散度的所述比值。我们注意到 pz 和 pr 在能量中以相同的方式出现。因此，用分布函数计算的 pz 的任何函数的平均值必须等于 pr 的同一函数的平均值。特别地，z 方向和 r 方向的速度弥散度必须相等：

但这并非观测结果，观测结果为

Hénon 和 Heiles [22] 以与当时其他人不同的方式处理了这个问题。他们没有改进恒星在银河系中运动的模型，而是聚焦于最终被证明是核心问题的问题：运动的定性本质是什么？这个问题与银河系动力学并无特殊关系，而是与运动本身的问题有关。他们从银河系动力学的细节中抽象出了动力学问题。

Hénon-Heiles 系统

我们已经看到，研究具有质量 m 和轴对称势能的质点运动，约化为研究一个约化后的二自由度问题，变量为 r 和 z，势能为 U(r, z)。Hénon 和 Heiles 选择研究一个二自由度系统，其势能特别简单，以便动力学清晰且计算简洁。Hénon-Heiles 哈密顿函数为

势能为

势能的形状像一个扭曲的碗。它具有三角对称性，这在将其改写为极坐标时显而易见：

势能的等高线如图 3.15 所示。在势能值较小时，等高线近似为圆形；当势能值接近 1/6 时，等高线变为三角形；在更大的势能值下，等高线打开至无穷远。

哈密顿函数不依赖于时间，因此能量守恒。在这个系统中，这是唯一已知的积分。我们首先确定能量守恒对演化施加的限制。我们有

因此运动被限制在等高线 V = E 内部的区域，因为动量的平方和不能为负。

让我们计算一些示例轨迹。为具体起见，我们研究能量 E = 1/8 的轨迹。存在多种多样的轨迹。有些轨迹以规则方式绕碗旋转，有些轨迹来回振荡（图 3.16）。还有看起来更不规则的轨迹（图 3.17）。可以计算的轨迹无穷无尽，但让我们面对现实吧，生活当然不止是观察轨迹。

Hénon 和 Heiles 面临的问题是运动积分的问题。除了显而易见的积分之外，还有其他积分吗？他们使用截面技术研究这个问题。截面是通过观察轨迹与相空间中一个平面的相继穿越来生成的。这如何解决积分数量的问题呢？先验地看，似乎有两种可能性：要么存在隐藏积分，要么不存在。假设除了能量之外没有其他运动积分。那么当时的预期是，轨迹与截面平面的相继交点最终会探索到截面平面上所有与能量守恒一致的点。另一方面，如果存在隐藏积分，那么相继的交点将被限制在一条曲线上。

具体来说，截面是通过在 x = 0 时记录并绘制 py 相对于 y 的值来生成的，如图 3.18 所示。给定能量 E 的值和截面 x = 0 上的一个点 ( y, py )，我们可以恢复 px（最多相差一个符号）。如果我们只关注那些以正 px 穿越截面平面的交点，那么截面点与轨迹之间存在一一对应关系。因此一个截面点对应于一条唯一的轨迹。

解读

在截面上，能量为

因为 px2 为正，轨迹被能量积分限制在截面中满足以下条件的区域

因此，如果没有其他积分，我们可能预期截面上的点最终会填满该边界曲线所围成的区域。

另一方面，假设存在一个隐藏的额外积分 I(x, y; px, py) = 0。那么这个积分将给轨迹及其与截面平面的交点带来进一步的约束。一个额外积分 I 在四个相空间变量 x、y、px 和 py 之间提供了一个约束。我们可以利用 E 来求解 px，因此对于给定的 E，积分 I 给出了 x、y 和 py 之间的关系。利用在截面上 x = 0 的事实，该积分对于给定的 E 给出了截面上 y 与 py 之间的关系。因此我们预期，如果存在另一个积分，轨迹与截面平面的相继交点将落在一条曲线上。

如果没有额外积分，我们预期截面点会填满一个区域；如果有额外积分，我们预期截面点会被限制在一条曲线上。实际情况是怎样的呢？图 3.19 显示了当 E = 1/12 时的截面；图中显示了若干代表性轨迹的截面点。总体而言，这些点似乎被限制在曲线上，因此似乎有证据表明存在额外积分。但请仔细看。“曲线”交叉的地方线条有些模糊。嗯。

让我们尝试稍大一点的能量 E = 1/8。截面的外观发生了质的变化（图 3.20）。对于某些轨迹，似乎仍然存在额外的运动约束。但其他轨迹看起来填满了截面平面的一个区域，正如我们在没有额外积分时对轨迹的预期那样。特别地，该截面上所有的散布点都是由单个轨迹生成的。因此，有些轨迹表现得好像存在额外积分，而有些则不然。哇！

让我们继续到更高的能量 E = 1/6，恰好处于逃逸能量。这个能量的截面如图 3.21 所示。现在，单个轨迹探索了截面平面中由能量守恒所允许的大部分区域，但并非全部。仍然存在似乎受到额外约束的轨迹。

我们似乎看到了所有可能的世界。在低能量下，系统总体上表现得好像存在额外积分，但并非完全如此。在中等能量下，相空间是分割的：有些轨迹探索区域，而另一些则受到约束。在高能量下，轨迹探索了能量曲面的大部分区域；很少有轨迹显示额外约束。我们刚刚目睹了第一次向混沌的转变。

这个截面揭示了两种性质上不同类型的运动，正如我们在驱动单摆的庞加莱截面中看到的那样。有些轨迹似乎受到约束，仿佛存在一个额外积分。还有一些轨迹在截面上探索一个区域，仿佛没有额外积分一样。规则轨迹似乎被一个额外积分约束到截面上的一个一维集合；混沌轨迹则不受这种约束，探索一个区域。29

截面不仅揭示了性质上不同类型的运动的存在，还提供了不同轨迹类型的概览。以 E = 1/8 的截面为例（图 3.20）。有四个主要岛屿，被混沌海所包围。上面展示的特定轨迹来自截面的不同部分。绕碗旋转的轨迹（图 3.16）属于左侧的大岛。沿另一方向绕碗旋转的类似轨迹属于右侧的大岛。来回穿过碗的轨迹属于截面上方和下方的两个岛。（根据对称性，应当有三个这样的岛。第三个岛紧密地包裹在截面的边界上。）每个主要岛屿周围环绕着一串次级岛屿。我们将看到，如果观察得足够仔细，轨道类型是无穷无尽的。混沌轨迹（图 3.17）存在于混沌海中。因此，截面提供了可能运动类型及其相互关系的总结。它比绘制无数条轨迹有用得多。

特定能量的截面总结了该能量下的动力学。不同能量的一系列截面显示了主要特征如何随能量变化。我们已经注意到，在低能量下，截面以规则轨道为主；在中等能量下，截面大致相等地分为规则区域和混沌区域；在高能量下，截面被单一的混沌区域主导。我们将看到，这种从规则行为到混沌行为的转变非常普遍；类似的现象发生在广泛不同的系统中，尽管细节自然取决于所研究的系统。

3.6.4 计算 Hénon-Heiles 截面

以下过程是 Hénon-Heiles 系统庞加莱映射的一个实现：

(define (HHmap E)
  (let ((advancer
         (state-advancer
          (phase-space-derivative HHHam))))
    (lambda (y py cont fail)
      (define (find-next-crossing s)
        (let lp ((s s))
          (let ((ns (advancer s .1 1.e-12)))
            (if (and (> (ref (coordinate ns) 0) 0)
                     (< (ref (coordinate s) 0) 0))
                (refine-crossing s)
                (lp ns)))))
      (define (refine-crossing s)
        (let ((dt (- (/ (ref (coordinate s) 0) 
                        (ref (momentum s) 0)))))
          (let ((ns (advancer s dt 1.e-12)))
            (if (< (abs (ref (coordinate s) 0))
                   1.e-10)
                ;; return new section point
                (cont (ref (coordinate ns) 1) 
                      (ref (momentum ns) 1))
                ;; continue refining
                (refine-crossing ns)))))
      (let ((initial-state (section->state E y py)))
        (if (not initial-state)
            (fail)
            (find-next-crossing initial-state))))))

系统导数直接作为哈密顿函数的相空间导数计算。Hénon-Heiles 问题的哈密顿过程为

(define (HHHam s)
  (+ (* 1/2 (square (momentum s)))
     (HHpotential s)))

其中势能为

(define (HHpotential s)
  (let ((x (ref (coordinate s) 0))
        (y (ref (coordinate s) 1)))
    (+ (* 1/2 (+ (square x) (square y)))
       (- (* (square x) y) (* 1/3 (cube y))))))

对于截面上的每个初始点 (y, py)，映射首先找到具有指定能量的初始状态（如果存在）。过程 section->state 处理此任务：

(define (section->state E y py)
  (let ((d (- E (+ (HHpotential (up 0 (up 0 y)))
                   (* 1/2 (square py))))))
    (if (>= d 0.)
        (let ((px (sqrt (* 2 d))))
          (up 0 (up 0 y) (down px py)))
        #f)))

如果没有与指定能量一致的初始状态，过程 section->state 返回 #f（假）。

然后初始状态由内部过程 find-next-crossing 推进，直到连续的状态位于截面平面的两侧。在找到跨越截面平面的状态后，由内部过程 refine-crossing 实现的牛顿法来精化穿越点。

为了探索 Hénon-Heiles 映射，我们像之前一样使用 explore-map：

(define win (frame -.5 .7 -.6 .6))
(explore-map win (HHmap 0.125) 500)

3.6.5 非轴对称陀螺

我们已经看到，轴对称陀螺的运动基本上可以求解。倾角变化率相对于倾角的图形是一条简单的闭合曲线。描述位形的其他角度的演化可以在倾斜运动求解后通过求积得到。现在让我们考虑非轴对称陀螺。非轴对称陀螺是具有三个不相等转动惯量的陀螺。支点不在质心，因此均匀重力施加了一个力矩。假设支点与质心之间的连线是主轴之一，我们取其为 。绕竖直轴没有力矩，因此角动量的竖直分量守恒。如果我们用欧拉角写出哈密顿函数，对应于绕竖直轴旋转的角度 不出现。因此与该角度共轭的动量是守恒的。非平凡的自由度是 和 ，以及它们对应的共轭动量。

我们可以通过绘制 p 相对于 在 = 0 处的值来为这个问题制作截面（见图 3.22）。对于给定的能量和 p 的值，通常有两个可能的 p 值。我们只在穿越时 p 的值是两者中较大的那个时绘制点。这使得截面上的点与轨迹一一对应。

在这个截面中，有一个大的拟周期岛屿，围绕着一个不动点，该不动点对应于清醒轴对称陀螺的倾斜平衡点（见 3.4 节图 3.7）。围绕这个岛的是一片大的混沌区域，从 = 0 延伸到接近 的角度。如果这个陀螺初始时靠近竖直方向，它会表现出混沌运动，将其带到大倾斜角度。如果陀螺在拟周期岛内启动，则倾斜是稳定的。