3.5 相空间演化

大多数问题没有足够的对称性来约化为求积问题。自然地，我们转而借助数值积分来更深入地了解这类系统的演化。相空间中的演化可以通过对哈密顿方程进行数值积分来求得。

哈密顿方程已经是一阶形式；哈密顿状态导数与相空间导数相同：

(define Hamiltonian->state-derivative
  phase-space-derivative)

作为示例，再次考虑周期性驱动的单摆（见 1.6.2 节）。哈密顿函数为

(show-expression
 ((Lagrangian->Hamiltonian
    (L-periodically-driven-pendulum 'm 'l 'g 'a 'omega))
  (up 't 'theta 'p_theta)))

周期性驱动单摆的哈密顿方程并不具有启发性，因此我们不予展示。我们从哈密顿函数构建系统导数：

(define (H-pend-sysder m l g a omega)
  (Hamiltonian->state-derivative
    (Lagrangian->Hamiltonian
      (L-periodically-driven-pendulum m l g a omega))))

现在我们对这个系统进行积分，采用与 1.7 节相同的初始条件（见图 1.7），但在相空间中显示轨迹（图 3.9）。我们制作一个监控过程来显示相空间中的演化：

(define ((monitor-p-theta win) state)
  (let ((q ((principal-value :pi) (coordinate state)))
        (p (momentum state)))
    (plot-point win q p)))

我们使用 evolve 来探索系统的演化：

(define window (frame :-pi :pi -10.0 10.0))

(let ((m 1.)                           ;m=1kg
      (l 1.)                           ;l=1m
      (g 9.8)                          ;g=9.8m/s²
      (A 0.1)                          ;A=1/10 m
      (omega (* 2 (sqrt 9.8))))
  ((evolve H-pend-sysder m l g A omega)
   (up 0.0                             ;t₀=0
       1.0                             ;theta₀=1 rad
       0.0)                            ;p₀=0 kg m²/s
   (monitor-p-theta window)
   0.01                                ;plot interval
   100.0                               ;final time
   1.0e-12))

轨迹有时振荡，有时旋转。相平面中的图案让人联想到图 3.4 中未驱动单摆的相平面轨迹。

3.5.1 相空间描述的非唯一性

我们熟悉这样一个事实：系统的一个给定运动在不同坐标系中有不同的表达方式：用直角坐标表达运动的函数与用极坐标表达同一运动的函数不同。然而，在给定的坐标系中，对于特定的初始条件，局部状态元组的演化是唯一的。广义速度路径函数是广义坐标路径函数的导数。另一方面，仅凭坐标系并不能唯一确定相空间描述。动量与坐标和速度的关系取决于拉格朗日函数，而许多不同的拉格朗日函数可以用来描述同一物理系统的行为。当同一物理系统的两个拉格朗日函数不同时，动力学状态的相空间描述也就不同。

我们已经看到驱动单摆的两个不同的拉格朗日函数（见 1.6.4 节）：一个是利用 L = T - V 得到的，另一个是通过观察运动方程得到的。这两个拉格朗日函数相差一个全时间导数。与 共轭的动量 p 取决于我们选择使用哪个拉格朗日函数，而相应相空间中演化的描述也依赖于拉格朗日函数的选择，尽管系统的行为与描述它的方法无关。对于周期性驱动单摆，使用 L = T - V 拉格朗日函数时，与 共轭的动量为

而使用另一种拉格朗日函数时，与 共轭的动量为

这两个动量相差一个随时间周期性变化的附加畸变量，且该畸变量依赖于 。相空间描述的不同如图 3.10 所示。两种情况下系统的演化是相同的。