3.4 相空间约化

我们发展哈密顿方程的动机是为了将注意力集中在那些可守恒的量——动量和能量上。在哈密顿表述中，广义位形坐标和共轭动量构成了系统在给定时刻的状态。我们从拉格朗日表述中知道，如果拉格朗日函数不依赖于某个坐标，那么共轭动量就是守恒的。这一结论在哈密顿表述中也成立，但哈密顿表述有一个明显的优势。在拉格朗日表述中，知道守恒动量并不会立即导致问题的任何简化；而在哈密顿表述中，动量守恒的事实会立即降低待求解系统的维数。事实上，如果一个坐标不出现在哈密顿函数中，那么剩余待求解的耦合方程组的维数就会降低二——该坐标不出现，且共轭动量为常数。

设 H(t, q, p) 是某个问题的哈密顿函数，该问题具有 n 维位形空间和 2n 维相空间。假设哈密顿函数不依赖于第 ith 个坐标 qi：(1 H)i = 0。19 根据哈密顿方程，共轭动量 pi 是守恒的。剩余 2n - 2 个相空间变量的哈密顿运动方程不涉及 qi（因为它不出现在哈密顿函数中），且 pi 是一个常数。因此，问题中困难部分——涉及耦合常微分方程求解的部分——的维数降低了二。控制 qi 演化的剩余方程通常依赖于所有其他变量，但一旦约化问题被求解，qi 的运动方程就可以写出来，从而给出 Dqi 作为时间的显式函数。然后我们可以通过该函数的定积分求出 qi。20

将此结果与更一般的微分方程组的结果进行对比。存在两种独立的情形。第一种情形是我们知道一个运动常数。一般而言，运动常数可用于将问题未解部分的维数降低一。为了看清这一点，设方程组为

其中 m 是系统的维数。假设我们知道某个运动常数

至少在局部上，我们期望可以利用这个方程将 zm-1(t) 用所有其他变量表示出来，并用这个解来消去对 zm-1(t) 的依赖。前 m - 1 个方程于是只依赖于前 m - 1 个变量。待求解方程组的维数降低了一。在求得其他变量的解之后，可以利用运动常数求出 zm-1(t)。

第二种情形是，其中一个变量，比如 zi，不出现在运动方程中（但存在 Dzi 的方程）。在这种情况下，其他变量的方程构成一个独立的方程组，比原系统少一维。在这些方程被求解之后，剩余关于 zi 的方程可以通过定积分求解。

在两种情形中，耦合方程组的维数都降低了一。哈密顿方程的不同之处在于，这两种情形常常同时出现。如果一个系统的哈密顿函数不依赖于某个特定的坐标，那么其他坐标和动量的运动方程就不依赖于该坐标。此外，与该坐标共轭的动量是一个运动常数。另一个好处是，在哈密顿表述中，利用这个运动常数来降低剩余方程的维数是自动完成的。守恒动量是一个状态变量，在剩余方程中仅是一个参数。

因此，如果存在连续对称性，我们很可能应当选择一种能显式体现该对称性的坐标系，使得哈密顿函数不依赖于某个坐标。这样，每有一个不出现在哈密顿函数中的坐标，耦合系统的相空间维数就会降低二。21

中心势场中的运动

考虑质量为 m 的质点在中心势场中的运动。体现该对称性的广义坐标的自然选择是极坐标。拉格朗日函数为（方程 1.67）：

动量为 pr = m 和 p = m r2 。动能是速度的齐次二次型，因此哈密顿函数为 T + V，其中速度用动量重新表示：

哈密顿方程为

势能依赖于到原点的距离 r，极坐标下的动能也是如此，但势能和动能都不依赖于极角 。角度 不出现在拉格朗日函数中，因此我们知道 p（即与 共轭的动量）沿着可实现轨迹是守恒的。p 沿可实现路径为常数这一事实由其中一个哈密顿方程表达。p 具有常数值这一事实立即被用于其他哈密顿方程中：剩余方程是一个自洽的子系统，其中 p 为常数。要在拉格朗日表述中构造一个更低维的子系统，我们必须利用每一个守恒动量来消去另一个状态变量，正如我们对轴对称陀螺所做的那样（见 2.10 节）。

我们可以用计算机检验我们的推导。实现拉格朗日函数的过程已经介绍过（方程 1.67 下方）。我们可以用它来得到哈密顿函数：

(show-expression
 ((Lagrangian->Hamiltonian 
    (L-central-polar 'm (literal-function 'V)))
  (up 't (up 'r 'phi) (down 'p_r 'p_phi))))

并推导哈密顿方程：

(show-expression
 (((Hamilton-equations
     (Lagrangian->Hamiltonian 
       (L-central-polar 'm (literal-function 'V))))
   (up (literal-function 'r)
       (literal-function 'phi))
   (down (literal-function 'p_r)
         (literal-function 'p_phi)))
  't))

轴对称陀螺

我们从哈密顿的观点重新考虑轴对称陀螺（见 2.10 节）。回顾一下，陀螺是一个旋转刚体，其一点在空间中固定。质心不在固定点上，并且存在均匀的重力场。轴对称陀螺是具有对称轴的陀螺。这里我们考虑固定点在对称轴上的轴对称陀螺。

轴对称陀螺具有两个我们想要利用的连续对称性。其对称性表现在：动能和势能都不敏感于陀螺绕对称轴的取向。由于重力场是均匀的，动能和势能也不敏感于物理系统绕竖直轴的旋转。我们通过选择自然体现这些对称性的坐标来利用它们。我们已经有了一个合适的坐标系来完成这项工作——欧拉角。我们选择陀螺的参考取向，使对称轴竖直。第一个欧拉角 表示绕对称轴的旋转。下一个欧拉角 是陀螺对称轴与竖直方向的倾斜角。第三个欧拉角 表示陀螺绕固定的 z 轴的旋转。问题的对称性意味着第一个和第三个欧拉角不出现在哈密顿函数中。因此，与这些角度共轭的动量是守恒量。确定轴对称陀螺运动的问题被约化为确定 和 p 演化的问题。让我们来详细推导。

用欧拉角表示，轴对称陀螺的拉格朗日函数为（见 2.10 节）：

(define ((L-axisymmetric-top A C gMR) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (qdot (velocity local)))
    (let ((theta (ref q 0))
          (thetadot (ref qdot 0))
          (phidot (ref qdot 1))
          (psidot (ref qdot 2)))
      (+ (* 1/2 A
            (+ (square thetadot)
               (square (* phidot (sin theta)))))
         (* 1/2 C
            (square (+ psidot (* phidot (cos theta)))))
         (* -1 gMR (cos theta))))))

其中 gMR 是重力加速度、陀螺质量以及支点到质心距离的乘积。哈密顿函数比我们预期的还要简洁：

(show-expression
 ((Lagrangian->Hamiltonian (L-axisymmetric-top 'A 'C 'gMR)) 
  (up 't
      (up 'theta 'phi 'psi)
      (down 'p_theta 'p_phi 'p_psi))))

注意角度 和 不出现在哈密顿函数中，这与预期一致。因此动量 p 和 p 是运动常数。

对于给定的 p 和 p 值，我们必须确定 和 p 的演化。关于 和 p 的有效哈密顿函数具有一个自由度，且不依赖于时间。因此哈密顿函数的值沿可实现轨迹是守恒的。所以 和 p 的轨迹描绘了有效哈密顿函数的等高线。这为我们提供了对于给定的 p 和 p 值下，可能运动类型及其相互关系的全景。

如果陀螺竖直站立，则 p = p。让我们关注 p = p 的情况，并定义 p = p = p。有效哈密顿函数变为（经过少许三角恒等简化）

定义有效势能

它参数化地依赖于 p，有效哈密顿函数为

如果 p 很大，则 Up 在 = 0 处有一个单一极小值，如图 3.5 所示。对于小的 p，在正的有限 处有一个极小值，并在负的 处有一个对称的极小值；在 = 0 处有一个局部极大值。存在一个 p 的临界值，在该值处 = 0 从极小值变为局部极大值。将该临界值记为 pc。简单计算表明 pc = (4 g M R A)1/2。当 = 0 时，有 p = C，其中 是旋转速率。因此 pc 对应于一个临界旋转速率

当 > c 时，陀螺可以竖直站立；当 < c 时，陀螺若略微偏离竖直就会倾倒。竖直站立的陀螺被称为“睡眠”陀螺。对于更真实的陀螺，摩擦会逐渐减慢旋转；当旋转速率最终降至临界旋转速率以下时，陀螺就会“醒来”。

通过观察 与 p 相平面中的轨迹，我们可以进一步理解睡眠陀螺和清醒陀螺。该平面中的轨迹就是哈密顿函数的等高线，因为哈密顿函数守恒。图 3.6 显示了当 > c 时的相图。所有轨迹都是围绕竖直方向（ = 0）的环。将陀螺略微偏离竖直方向只会将其置于附近的环上，因此陀螺近似保持竖直。图 3.7 显示了当 < c 时的相图。此时竖直位置是不稳定的平衡。趋近竖直方向的轨迹是渐近的——它们需要无限长的时间才能到达竖直方向，正如具有恰好合适初始条件的单摆可以趋近竖直方向但永远无法到达一样。如果陀螺被略微偏离竖直方向，则轨迹会围绕另一个具有非零 的中心环绕。在环的中心点处启动的陀螺会停留在那里，而在此平衡点附近启动的陀螺则会稳定地环绕它。因此我们看到，当陀螺“醒来”时，竖直方向变得不稳定，但陀螺并不会倒在地上。相反，它围绕一个新的平衡位置振荡。

考察 p 不等于 p 时的轴对称陀螺也很有趣。考虑 p > p 的情形。图 3.8 显示了 与 p 平面中的一些轨迹。注意在这种情况下，轨迹不会经过 = 0。p < p 的相图类似，此处未予展示。

通过选择体现对称性的坐标，我们已将轴对称陀螺的运动约化为求积问题。结果表明，所得积分可以用椭圆函数表示。因此，轴对称陀螺是可以解析求解的。我们不在此详述这一解，因为它并不具有很大的启发性：由于大多数问题无法解析求解，花时间详细分析少数可解析求解的问题之一收益甚微。相反，我们关注相空间中解的几何结构以及利用积分来降低问题维数的方法。通过相空间图形，我们发现陀螺运动的一些有趣的定性特征。

练习 3.8. 睡眠陀螺 验证轴对称陀螺能够睡眠的临界角速度由方程 (3.104) 给出。

3.4.1 拉格朗日约化

假设存在循环坐标。在哈密顿表述中，其他自由度的坐标和动量的运动方程构成一个自洽的子系统，其中与循环坐标共轭的动量作为参数出现。我们可以通过对约化后的哈密顿函数进行勒让德变换来构造这个子系统的拉格朗日函数。或者，我们可以从完整的拉格朗日函数出发，仅对那些循环坐标进行勒让德变换。运动方程对于那些被变换的变量是哈密顿方程，对于其他变量则是拉格朗日方程。与循环坐标共轭的动量是守恒的，在剩余坐标的拉格朗日函数中可以视为参数。

将坐标元组 q 分为两个子元组 q = (x, y)。假设 L(t; x, y; vx, vy) 是该系统的拉格朗日函数。定义劳斯函数 R 为 L 关于 vy 槽的勒让德变换：

为了定义函数 R，我们必须求解方程 (3.105)，将 vy 用其他变量表示，并将其代入方程 (3.105)。

定义状态路径 ：

其中

可实现路径满足运动方程

这些是关于 x 的拉格朗日方程以及关于 y 和 py 的哈密顿方程。

现在假设拉格朗日函数关于 y 是循环的。那么 1,1 L = 1,1 R = 0，且 py(t) 在任何可实现路径上是常数 c。方程 (3.113) 根据假设不依赖于 y，我们可以将 py 替换为其常数值 c。因此方程 (3.113) 构成了关于路径 x 的封闭子系统。拉格朗日函数 Lc

描述了子系统的运动（引入负号是为了方便，而 ¤ 表示函数值不依赖于该参数）。路径 y 可以通过利用独立确定的路径 x 对方程 (3.114) 进行积分来求得。

定义作用量

可实现路径 x 满足以 Lc 为拉格朗日函数的拉格朗日方程，因此作用量 S'c 关于在端点处为零的变分 是稳定的：

对于可实现路径 q，作用量 S[q](t1, t2) 关于在端点处为零的变分 是稳定的。沿这些路径，动量 py(t) 具有常数值 c。对于同样的路径，作用量 S'c[x](t1, t2) 关于在端点处为零的变分 是稳定的。 的维数小于 的维数。

作用量 S'c[x](t1, t2) 和 S[q](t1, t2) 的值是相关的：

练习 3.9. 劳斯运动方程 验证运动方程由方程 (3.113-3.115) 给出。