3.3 单自由度系统

具有单自由度的时间无关系统的解可以通过求积法得到。这类系统守恒哈密顿量：哈密顿量在每条可实现轨迹上具有恒定值。我们可以利用这个约束消去动量，将其用坐标表示。于是哈密顿方程简化为一个单一方程 Dq(t) = f(q(t))。解 q 可以表示为一个定积分。

几何视角揭示了更多的结构。具有单自由度的时不变系统具有二维相空间。能量是守恒的，因此所有轨道都是哈密顿量的等高线。可能的轨道类型仅限于实值函数的等高线所确定的曲线。可能的轨道是哈密顿量所描述的相平面山脉中恒定高度的路径。

仅可能有少数几个特征类型。存在作为动力学系统稳定平衡点的点。这些是哈密顿量山脉的峰和谷。这些平衡点是稳定的，其意义在于附近等高线上的邻近轨迹保持在平衡点附近。存在一些轨道，它们沿着环绕一个峰或谷（或可能若干个峰）的等高线描出简单的闭合曲线。也存在位于穿过鞍点的等高线上的轨迹。交叉点是不稳定平衡点，其不稳定性意味着邻近轨迹会离开平衡点的邻域。这些穿过鞍点的等高线被称为分界线，即"分隔"两个不同行为区域的等高线。

在每一点，哈密顿方程给出了唯一的演化速率，并引导系统垂直于哈密顿量的梯度方向运动。在峰、谷和鞍点处，哈密顿量的梯度为零，因此根据哈密顿方程，这些是平衡点。在其他点处，哈密顿量的梯度非零，因此根据哈密顿方程，演化速率非零。轨迹沿着哈密顿量的等高线演化。位于简单闭合等高线上的轨迹周期性地描出该等高线。在鞍点处，等高线相交。哈密顿量的梯度在鞍点处为零，因此从鞍点出发的系统不会离开鞍点。在分界线上远离鞍点的地方，哈密顿量的梯度非零，因此轨迹沿着等高线演化。分界线上的轨迹在时间向前或向后的意义上是渐近于鞍点的。在时间向前或向后推进的过程中，这些轨迹无限趋近于一个不稳定平衡点但永远无法到达。如果相空间是有界的，位于光滑哈密顿量的等高线上的渐近轨迹总是两端都渐近于不稳定平衡点（但两端可能是不同的平衡点）。

这些轨道类型都可以用摆的典型相平面来说明（见图3.4）。解位于哈密顿量的等高线上。相平面中有三个区域；每个区域中的运动在性质上是不同的。在中心区域，摆做振荡运动；在此之上有一个区域，摆沿一个方向旋转；在振荡区域之下，摆沿另一个方向旋转。在振荡区域的中心有一个稳定平衡点，此时摆静止下垂。在这些区域的边界上，摆渐近于不稳定平衡点，此时摆竖直向上直立。18 有两条渐近轨迹，对应于可以趋近该平衡点的两种方式。每条轨迹在时间向后推进时也渐近于该不稳定平衡点。