3.2 泊松括号
这里我们引入泊松括号，用它可以得到哈密顿方程的一个优雅而对称的表达式。考虑一个关于时间、坐标和动量的函数 F。沿路径 
(t) = ( t, q(t), p(t) ) 的 F 的值为 (F o )(t) = F(t, q(t), p(t))。F o 的时间导数为
如果相空间路径是具有哈密顿量 H 的系统的可实现路径，那么 Dq 和 Dp 可以用哈密顿方程重新表达：
其中 F 和 H 的泊松括号 { F , H } 定义为 17
注意，相状态空间上两个函数的泊松括号也是相状态空间上的一个函数。
坐标选择器 Q = I1 是相状态空间上一个函数的例子：Q(t, q, p) = q。根据方程(3.79)，
但这与哈密顿方程相同
类似地，动量选择器 P = I2 是相状态空间上的一个函数：P(t, q, p) = p。我们有
这与哈密顿的另一个方程相同
因此，泊松括号提供了一种统一的方式来书写哈密顿方程：
任意函数与其自身的泊松括号为零，因此我们恢复了对于没有显式时间依赖性的系统的能量守恒：
泊松括号的性质
设 F、G 和 H 是时间、位置和动量的函数，设 c 与位置和动量无关。
泊松括号是反对称的：
它是双线性的（对每个参数都是线性的）：
泊松括号满足雅可比恒等式：
除(3.87-3.92)中的最后一个之外，所有性质都可以从定义立即验证。雅可比恒等式需要稍多一些功夫来验证。我们可以用计算机来避免一些工作。定义一些哈密顿类型的字面相状态空间函数：
(define F
(literal-function 'F
(-> (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real)) Real)))
(define G
(literal-function 'G
(-> (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real)) Real)))
(define H
(literal-function 'H
(-> (UP Real (UP Real Real) (DOWN Real Real)) Real)))
然后我们验证雅可比恒等式：
(print-expression
((+ (Poisson-bracket F (Poisson-bracket G H))
(Poisson-bracket G (Poisson-bracket H F))
(Poisson-bracket H (Poisson-bracket F G)))
(up 't (up 'x 'y) (down 'px 'py))))
0
残差为零，因此对于具有两个自由度的任意三个相状态空间函数，雅可比恒等式成立。
守恒量的泊松括号
守恒量的泊松括号是守恒的。设 F 和 G 是时间无关的相状态空间函数：
0 F = 0 G = 0。如果 F 和 G 在 H 的演化下守恒，则
因此 F 和 G 与 H 的泊松括号为零：{ F, H} = { G, H} = 0。于是雅可比恒等式意味着
因此
所以 { F, G } 是一个守恒量。两个守恒量的泊松括号也是一个守恒量。
