2.11 自旋-轨道耦合

行星和天然卫星的转动受到来自其他天体的引力影响。作为受迫刚体拉格朗日方法的一个扩展应用，我们考虑天体在引力作用下的转动。

我们首先推导一个扩展体与一个外部质点之间引力相互作用的势能形式。利用这一势能和通常的刚体动能，我们可以构造出模拟多种系统的拉格朗日量。我们将初步考察月球和水星的转动；之后，在我们发展了更多工具后，将再次回到这些系统的研究。

2.11.1 势能的推导

首要任务是推导一个刚体与一个遥远的质点相互作用的引力势能的便捷表达式。一个刚体可以被认为由大量受刚性坐标约束的质量元构成。我们已经看到，刚体的动能可以方便地用刚体的转动惯量和角速度矢量来表示，而角速度矢量又可以用一组适当的广义坐标来表征。势能也可以用类似的方式推导。我们首先用质量分布的矩来表示势能，随后引入广义坐标作为势能的特定参数。

一个质点与一个刚体的引力势能（见图2.9）是质点与刚体每个质量元的势能之和：

其中 M' 是外部质点的质量，r 是质点与索引为 的组成质量元之间的距离，m 是该组成质量元的质量，G 是引力常数。设 R 为刚体质心到质点的距离；R 是矢量 - 的大小，其中外部质点的位置为 ，刚体质心的位置为 。从质心到索引为 的质量元的矢量为 ，其大小为 。距离 r 则由余弦定理给出为 r2 = R2 + 2 - 2 R cos ，其中 是 - 与 之间的夹角。势能则为

这是完整的表达式，但我们需要找到一个无需提及每个组成元的表示形式。

通常，天体的尺寸与它们之间的距离相比很小。我们可以利用这一点来找到势能的一个更紧凑的表示。如果将势能按照小量比值 /R 展开，我们得到

其中 Pl 是第 lth 阶勒让德多项式。15 交换求和顺序得到：

该势能展开中的连续项通常衰减得非常快，因为天体的尺寸与它们之间的距离相比很小。我们可以通过将对 求和中的每个因子替换为其上界来计算这些项大小的一个上限。勒让德多项式在参数范围为 -1 到 1 内所有项的量值都小于 1。距离 都小于刚体的某个最大尺寸 max。对 m 乘以上述上界的求和正好是总质量 M 乘以上界。因此

我们看到连续项的上界按因子 max / R 递减。后续项可能更小。对于大天体，引力足够强，足以克服天体内部的材料强度，因此天体随着时间的推移几乎变成球形。势能展开中的后续项是质量分布偏离球对称质量分布的度量。因此，对于大天体，高阶项之所以小，是因为这些天体几乎是球形的。

考虑 l 的前几项。对于 l = 0，对 的求和正好给出刚体的总质量 M。对于 l = 1，对 的求和为零，这是因为我们将 的坐标原点选择在质心处。对于 l = 2，我们需要多做一些工作。该求和涉及质量分布的二阶矩，可以用刚体的转动惯量来表示：

其中 A、B 和 C 是主转动惯量，I 是刚体关于从刚体质心到外部质点连线的转动惯量。转动惯量 I 取决于刚体相对于两体连线的取向。对 l = 2 为止的势能贡献为 16

设 = cos a, ß = cos b, 和 = cos c 分别为角度 a、b 和 c 的方向余弦，这些角度位于主轴 hata、 和 与质心和质点连线之间。17 经过简单的代数运算可得 I = 2 A + ß2 B + 2 C。势能则为

对于太阳系中的大多数情况，这是相互作用势能的一个良好的一级近似；如果我们打算在月球上着陆，可能就需要考虑展开中的高阶项了。

练习 2.14。

a. 详细说明方程(2.72)中对组成元的求和如何可以如所述用转动惯量表示。特别地，证明

以及

b. 证明如果刚体的主转动惯量为 A、B 和 C，那么关于一条通过刚体质心、方向余弦相对于主轴为 、ß 和 的轴的转动惯量为

2.11.2 月球和土卫七的转动

我们推导的势能近似可用于多种不同的问题。它可以用来研究扁率对人造地球卫星轨道演化的影响，或者将行星扁率对天然卫星（如月球或木星的伽利略卫星）轨道演化的影响纳入考虑。然而，在此处的主要应用中，我们将用它来研究天然卫星和行星的转动动力学。

势能依赖于质点相对于刚体的位置以及刚体的取向。因此，取向的变化与轨道演化相互耦合；两者相互影响。然而，在许多情况下，刚体取向对轨道演化的影响可以忽略。理解这一点的一种方法是考察势能(2.74)中两项的相对大小。我们已经知道第二项比第一项小一个因子 (max / R)2，但通常由于所涉及的天体近乎球形，它还要小得多。例如，月球的半径约为地球半径的三分之一，而月球到地球的距离约为60个地球半径。因此，由于尺寸因子，第二项比第一项小约10-4的量级。此外，月球大致是球形的，对于任何取向，组合 A + B + C - 3I 的量级为 10-4C。而 C 本身的量级为 (2/5)MR2，因为月球的密度随半径的变化不大。因此，对于月球，第二项相对于第一项的量级为 10-8。即使月球取向发生剧烈变化，对其轨道的动力学影响也很小。

通过研究一个简化模型问题，我们可以了解取向动力学的一些重要定性特征。首先，我们假设刚体绕其最大转动惯量轴转动。这是一个自然的假设。回忆一下，对于自由刚体，在角动量守恒的情况下能量的耗散会导致绕最大转动惯量轴的转动。这在太阳系中的大多数天体上都观测到了。其次，我们假设自旋轴垂直于轨道运动方向。这对于天然卫星的转动是一个很好的近似，并且是潮汐摩擦的自然结果——由卫星与行星的引力相互作用在卫星上引起的耗散性固体潮汐。最后，为简单起见，我们假设刚体在一个固定的椭圆轨道上运动。只要轨道演化的时间尺度远大于我们所研究的转动动力学的时间尺度，这就可以近似某些物理系统的运动。因此，我们有了一个很好的玩具问题，它曾被用来研究水星、月球和其他天然卫星的转动动力学。它对火星的卫星火卫一的转动做出了特定的预测，这些预测可以与观测进行比较。它为水星精确地每绕行两圈自转三圈这一事实提供了基本解释，并且是理解土星卫星土卫七混沌翻滚的起点。

我们假设轨道不发生变化也不进动。轨道是一个以质点为焦点的椭圆。角度 f（见图2.10）度量刚体在其轨道上相对于轨道中两个天体最接近点的位置。18 我们假设轨道是固定椭圆，因此角度 f 和距离 R 是时间的周期函数，周期等于轨道周期。在自旋轴被约束为垂直于轨道平面的情况下，刚体的取向由单个自由度确定：刚体绕自旋轴的取向。我们通过广义坐标 来指定这一取向，它度量从我们测量 f 的同一参考线（即通过最近点的直线）到主轴 hata 的角度。

在确定了坐标系之后，我们可以计算出动能和势能的细节，从而找到拉格朗日量。动能为

其中 C 是绕自旋轴的转动惯量，刚体绕 轴的角速度为 。在其他主轴上没有角速度分量。

为了得到势能的显式表达式，我们必须用 和 f 来表示方向余弦： = cos a = - cos ( - f)，ß = cos b = sin ( - f)，以及 = cos c = 0，因为 轴垂直于轨道平面。势能则为

由于我们假设轨道是给定的，只需保留依赖于 的项。将余弦和正弦的平方用倍角展开，并舍弃所有不依赖于 的项，我们得到取向的势能 19

模型自旋-轨道耦合问题的拉格朗日量则为 L = T - V：

我们引入无量纲的“非圆度”参数

并利用轨道频率 n 满足开普勒第三定律 n2 a3 = G(M + M')，对于绕质量大得多的天体运行的小天体（M << M'），这近似为 n2 a3 = GM'。用 和 n 表示，自旋-轨道拉格朗日量为

这是一个具有一个自由度的系统，其中包含随时间周期性变化的项。

拉格朗日方程以通常的方式推导：

运动方程与周期性驱动的摆非常相似。这里的主要区别在于，不仅加速度的强度在周期性地变化，而且在自旋-轨道问题中，吸引中心也在周期性地变化。

我们可以对这个运动方程给出一个物理解释。它表明角动量的变化率等于所施加的力矩。刚体上的力矩产生的原因是刚体非圆，而引力随距离的平方反比变化。因此，刚体近侧每单位质量所受的力略大于刚体整体的加速度，而刚体远侧每单位质量所受的力略小于刚体整体的加速度。因此，相对于刚体整体的加速度，远侧被向外推，而内侧部分被向内推。净效果是一个力矩作用在刚体上，试图使刚体的长轴与外部质点的连线对齐。如果 略大于 f，则存在负力矩；如果 略小于 f，则存在正力矩；如果有适当的机会，这两种力矩都会使长轴与行星对齐。力矩的产生是由于平方反比力在刚体上的差异，因此力矩正比于 R-3。只有当刚体非圆时才有力矩，否则就没有可供拖拽的“把手”。这反映在力矩表达式中的因子 B - A 中。势能仅依赖于转动惯量，因此刚体旋转 180 度具有相同的动力学。正弦函数参数中的因子 2 反映了这一对称性。这个力矩被称为“重力梯度力矩”。

要计算演化过程需要进行大量类似于其他问题的详细准备。有许多有趣的现象需要探索。我们可以采用适合月球的参数，发现月亮先生并没有始终以同一面对着地球，而是在不停地摇头，对我们这里发生的事情感到困惑。如果我们稍微扰动一下月球，比如用小行星撞击它，我们会发现长轴相对于指向地球的方向来回振荡。对于月球，目前的轨道偏心率约为 0.05，非圆度参数约为 = 0.026。图 2.11 显示了两种不同“月球”偏心率下角度 - f 随时间的变化。图中显示了 50 个月球轨道周期，即不到四年。这个月球曾被一颗大质量小行星撞击，初始旋转角速度 等于轨道频率的 1.01 倍。初始取向为 = 0。光滑的迹线显示了轨道偏心率设为零时的演化。我们看到一个周期约为 40 个月球轨道周期（约三年）的振荡。波动更大的迹线显示了轨道偏心率为 0.05（接近当前月球偏心率）时 - f 的演化。月球偏心率在月球轨道周期的时间尺度上叠加了一个可见的来回晃动。尽管月球在其轨道运行过程中确实会略微改变其自转速率，但这种晃动主要是由月球在椭圆轨道上的非均匀运动引起的。这种称为月球“光学天平动”的振荡使我们能够看到略多于一半的月球表面。由撞击引起的较长周期振荡称为月球的“自由天平动”。之所以称为“自由”，是因为我们可以自由地通过选择适当的初始条件来激发它。由光学天平动引起的月球取向失配实际上在月球上产生了周期性的力矩，在每个轨道周期中使其略微加速和减速。由此产生的振荡称为月球的“受迫天平动”，但它太小，在此图中看不到。

自由天平动的振荡周期很容易计算。我们看到轨道的偏心率不会显著影响周期，因此我们考虑偏心率为零的特殊情况。在这种情况下，R = a 为常数，且 f(t) = n t，其中 n 为轨道频率（传统上称为平均运动）。运动方程变为

设 (t) = (t) - n t，从而有 D(t) = D(t) - n，以及 D2 = D2。代入这些关系，控制 演化的方程为

对于偏离同步转动的微小偏差（小 ），这变为

因此我们看到 的小振幅振荡频率为 n。对于月球， 约为 0.026，因此周期约为 1/0.026 个轨道周期，即约 40 个月球轨道周期，这与我们观察到的结果一致。

当非圆度参数很大时，结果可能更有趣。根据我们处理驱动摆的经验，当系统因较大的 和显著的 e 而受到强烈驱动时，自旋-轨道问题中存在丰富的混沌现象，这并不令人惊讶。太阳系中确实有一个天体表现出混沌转动——土星的一个小卫星土卫七。虽然我们的玩具模型不足以完整描述土卫七，但我们可以证明，对于适合土卫七的参数，它表现出混沌行为。我们取 = 0.89 和 e = 0.1。图 2.12 显示了 50 个轨道周期内 - f 的变化，起始条件为 = 0 和 = 1.05。我们看到，有时天体的一个面朝向行星振荡，有时另一个面朝向行星振荡，有时天体相对于行星向任一方向旋转。

如果我们放松自旋轴固定垂直于轨道的限制，那么我们发现月球即使受到轻微扰动也能保持自旋轴的这一取向，但对于土卫七，自旋轴几乎立即偏离这一位形。土卫七平均而言以一面对着土星的状态在动力学上是不稳定的，会导致混沌翻滚。对土卫七的观测已经证实它正在混沌翻滚。

15 勒让德多项式 Pl 可以通过将表达式 (1 + y2 - 2 y x)-1/2 展开为 y 的幂级数得到。yl 的系数是 Pl(x)。前几个勒让德多项式为：P0(x) = 1，P1(x) = x，P2(x) = (3/2) x2 - (1/2)，依此类推。其余的满足递推关系

16 势能的这个近似表示有时称为麦卡洛公式。

17 注意，我们刚刚重用了 。它之前也曾被用作组成元的索引。

18 传统上，轨道中两个天体最接近的点称为近心点，角度 f 称为真近点角。

19 给定的势能与实际势能的不同之处在于，不依赖于 且因此不影响 演化的非常数项已被舍弃。