2.12 欧拉方程

对于自由刚体，我们已经看到角动量在主轴上分量构成一个自洽的动力学系统：主轴分量的变化仅依赖于主轴分量。这里我们推导控制这些分量演化的方程。

推导的出发点是矢量角动量的守恒。角动量在主轴上分量为

其中 ' 由角速度矢量在主轴上分量构成，__P1__' 是惯性张量相对于主轴基的矩阵表示：

角动量的体分量 __P1__' 与在固定直角基 i 上的分量 __P2__ 的关系为

其中 __P0__ 是旋转的矩阵表示，该旋转将刚体以及附着在刚体上的所有矢量从刚体的参考取向带到实际取向。

矢量角动量在自由刚体运动中守恒，其在固定直角基上的分量也守恒。因此，沿解路径有

求解得到

用 ' 表示为

其中我们使用了方程(2.38)将 D__P1__ 用 A 表示。函数 A 具有如下性质 20

对于任意具有分量 __P0__ 的矢量和任意具有矩阵表示 __P1__ 的旋转均成立。利用 A 的这一性质，我们得到欧拉方程：

欧拉方程给出了角速度矢量体分量对时间导数的表达式，完全用角速度分量和主转动惯量表示。设 a、b 和 c 表示角速度矢量在主轴上分量。则欧拉方程可写为分量方程

或者，我们也可以将欧拉方程用角动量在主轴上分量重新写出

这些方程证实了角动量在主轴上分量对时间的导数仅依赖于角动量在主轴上分量。

欧拉方程非常简单，但它们并不能完全确定刚体的演化——它们没有给出刚体的空间取向。然而，方程(2.38)和性质(2.90)可以用来将取向矩阵的导数与角速度矢量的体分量联系起来：

使用这些方程的一个直接方法是将它们按分量作为一组九个一阶常微分方程积分，初始条件确定初始位形矩阵。结合描述角速度矢量体分量如何随时间变化的欧拉方程，这个控制刚体运动的方程组是完备的。然而，读者无疑会注意到这种方法相当浪费。取向矩阵可以用三个参数来描述这一事实尚未被利用。我们应当对取向积分三个方程（给定 '），而不是九个。为做到这一点，我们再次需要参数化位形矩阵。

例如，我们可以使用欧拉角来参数化取向：

我们通过将 M 与一个欧拉坐标路径复合来构造 __P3__。然后可以用方程(2.94)来求解 D、D 和 D。我们得到

这给出了我们想要的取向方程。注意，它在 = 0 时是奇异的，就像拉格朗日方程一样。因此，使用欧拉角描述位形的欧拉方程与使用欧拉角的拉格朗日方程存在同样的问题。这再次表明，当 = 0 时，取向只依赖于 + 。 = 0 时运动方程中的奇异性并不对应刚体运动中的任何异常现象。解决奇异性问题的一个实用方法是选择另一组欧拉式角度，其奇异性出现在不同位置，并在情况变得棘手时在一组与另一组之间切换。

练习 2.15。补充方程(2.96)推导的细节。你可能想借助计算机进行代数运算。

受迫刚体的欧拉方程

欧拉方程是针对自由刚体推导的。通常，我们必须能够处理外部强迫力。如何做到这一点呢？首先，我们推导矢量力矩的表达式。然后，我们将矢量力矩纳入欧拉方程。

我们以类似于推导矢量角动量的方式推导矢量力矩。也就是说，我们先推导一个分量，然后论证由于坐标系是任意的，所有分量具有相同的形式。

假设我们有一个刚体，受到某个仅依赖于时间和位形的势能的作用。拉格朗日量为 L = T - V。如果使用欧拉角作为广义坐标，则定义取向的三个主动欧拉旋转中的最后一个旋转是绕 轴的旋转。该旋转的大小由角度 给出。关于 的拉格朗日方程给出 21

如果我们将 Tz（即力矩关于 z 轴的分量）定义为势能关于刚体绕 z 轴旋转角度的导数的负值，

则我们看到

我们已经识别出与 共轭的动量是矢量角动量 的一个分量 Lz（见第 2.9 节），因此

由于参考直角基矢量的取向是任意的，我们可以按任何方便的方式选择它们。因此，如果我们想要矢量力矩的任意分量，我们可以选择 z 轴，以便用这种方法计算它。我们可以得出结论：矢量力矩给出了矢量角动量的变化率

在获得了矢量力矩的通用表达式后，我们来讨论如何将矢量力矩纳入欧拉方程。欧拉方程表达了矢量角动量守恒这一事实。让我们回到那个计算，但这次引入具有分量 __P0__ 的力矩：

执行与之前相同的步骤，我们得到

其中矢量力矩在主轴上分量为

用 ' 表示为

写成分量形式，

注意，力矩只进入了体角动量（或者说体角速度矢量）的方程中。将取向的导数与角速度矢量联系起来的方程不受力矩的影响。从某种意义上说，欧拉方程包含了动力学，而控制取向的方程是运动学的。当然，拉格朗日方程必须由产生力矩的势能来修正；在这个意义上，拉格朗日方程同时包含了动力学和运动学。

练习 2.16。自行车轮 a。想象你正手持一个自行车轮的轴（用两只手），车轮正在旋转，使得顶部边缘远离你的面部。如果你通过右手向下推、左手向上拉来对车轮施加力矩，车轮将会进动。它会朝哪个方向转动？

b. 一个自由自行车轮在水平面上滚动。如果它开始倾斜，来自重力的力矩将导致车轮转动。它会朝哪个方向转动？应用于第 a 部分的推理并不直接适用于滚动的自行车轮，因为它不是一个完整系统。然而，思考这两个系统的行为是否相关是有趣的。

练习 2.17。岁差 地球几乎绕其最大转动惯量轴自转，自转轴与轨道法线倾斜约 23 度。来自太阳的重力梯度力矩作用在地球上，导致地球自转轴进动。在地球轨道为圆且地球为轴对称的近似下研究这一进动。用地球的转动惯量确定进动速率。