2.10 轴对称陀螺

我们都曾经玩过陀螺。为了分析的目的，我们考虑一个理想化的陀螺，它不会到处游走。因此，理想陀螺是一个旋转的刚体，其一个点在空间中是固定的。此外，陀螺的质心不在固定点（即旋转中心），并且存在均匀的重力加速度。

对于我们的陀螺，我们可以将拉格朗日量取为动能与势能之差。我们已经知道如何写出动能——这里新的内容是必须用位形表示势能。对于均匀引力场中的刚体，这很容易。势能是所有构成粒子的“mgh”之和：

其中 g 是重力加速度，h = · ，单位矢量 指示向上的方向。用指向质心的矢量 重新表示指向各构成粒子的矢量，势能为

其中最后一项和为零，因为质心是 的原点。因此，均匀加速度引力场中刚体的势能非常简单：它正是 Mgh，其中 M 是总质量，h = · 是质心的高度。

这里我们考虑一个轴对称陀螺（见图 2.4）。这种陀螺具有质量分布的对称轴，因此质心在对称轴上，固定点也在对称轴上。

为了写出拉格朗日量，我们需要选择一组广义坐标。如果选择得当，我们可以利用问题的对称性。如果拉格朗日量不依赖于某个特定坐标，共轭动量就是守恒的，系统的复杂性就会降低。

轴对称陀螺具有两种明显的对称性。质量分布是轴对称的这一事实意味着动能和势能都不依赖于陀螺绕该对称轴的取向。此外，动能和势能对物理系统绕竖直轴的旋转不敏感，因为引力场是均匀的。

我们可以通过选择合适的坐标来利用这些对称性，而我们已经有了一个胜任的坐标系——欧拉角[12]。我们选择参考取向使得对称轴是竖直的。第一个欧拉角 表示绕对称轴的旋转。下一个欧拉角 是陀螺对称轴偏离竖直方向的倾斜角。第三个欧拉角 表示陀螺绕 z 轴的旋转。问题的对称性意味着第一个和第三个欧拉角不出现在拉格朗日量中。因此，与这些角度共轭的动量是守恒量。让我们详细推导。

首先，我们显式地导出拉格朗日量。关于某一点的动能的一般形式由公式 2.30 给出。陀螺受到约束，它绕一个不在质心的固定点转动。因此，进入动能的转动惯量是陀螺关于支点的转动惯量，而不是关于质心的转动惯量。如果我们知道关于质心的转动惯量，就可以用它们写出关于支点的转动惯量（见练习 2.2）。因此，假设陀螺关于支点的主转动惯量为 A、B 和 C，且由于对称性 A = B[13]。我们可以用计算机帮助我们推导这个特殊情况的拉格朗日量：

(show-expression
 ((T-rigid-body 'A 'A 'C) 
   (up 't 
       (up 'theta 'phi 'psi)
       (up 'thetadot 'phidot 'psidot))))

我们可以稍加整理得到

用欧拉角表示，势能为

其中 R 是质心到支点的距离。拉格朗日量为 L = T - V。我们看到拉格朗日量确实与 和 无关，正如预期。

没有特别的理由去审视拉格朗日方程。我们可以在需要时将这项任务交给计算机。然而，我们已经看到，研究与对称性相关的守恒量可能是有用的。

能量是守恒的，因为拉格朗日量不显含时间。此外，能量是动能与势能之和 E = T + V，因为动能是广义速度的齐次二次型。能量为

有两个广义坐标不出现在拉格朗日量中，因此存在两个守恒动量。与 共轭的动量为

与 共轭的动量为

系统在某一时刻的状态由元组 ( t; , , ; , , ) 指定。不出现在拉格朗日量中的两个坐标 和 也不出现在拉格朗日方程或守恒动量中。因此，其余四个状态变量 、、 和 的演化仅依赖于这些剩余的状态变量。陀螺的这个子系统具有一个四维状态空间。未出现在拉格朗日量中的变量可以通过积分这些变量的导数来确定，而这些导数通过求解独立的子系统单独确定。

陀螺的演化由一个四维子系统和两个辅助求积分来描述[14]。这种细分是选择包含对称性的广义坐标的结果。然而，选择包含对称性的广义坐标也给出了守恒动量。我们可以利用这些动量进一步简化问题的表述。每个积分可以在局部用于消去子系统的一个维数。在这种情况下，子系统是四维的，有三个积分，因此系统可以完全简化为求积分。对于陀螺，这可以解析地完成，但我们认为这样做是浪费时间。相反，我们感兴趣的是提取运动的有趣特征。我们专注于能量积分，并使用两个守恒动量消去 和 。经过一些代数运算，我们得到：

沿着路径 ，其中用 D(t) 代替 ，这是关于 的一个常微分方程。这个微分方程涉及各种常数，其中一些由其他状态变量的初始条件确定。关于 的微分方程的解无非是普通积分。因此陀螺问题基本上已解决。我们可以继续这一论证以得到 的定性行为：利用能量 (2.66)，我们可以在 对 的平面上绘制轨迹，并看到 的运动是简单的周期运动。但是，我们将推迟沿着这条路径继续，直到第三章，那时我们将有更多的分析工具。

让我们实际一些。让我们制作一个陀螺，用铝盘和穿过中心的钢杆作为支点。经过非常仔细的测量，我们发现陀螺绕对称轴的转动惯量约为 6.60 × 10^-5 kg m^2，关于支点的转动惯量约为 3.28 × 10^-4 kg m^2。组合量 gMR 约为 0.0456 kg m^2 s^-2。我们以初始角速度 = 140 rad s^-1（约 1337 rpm）旋转陀螺。陀螺初始时 = = = 0，并初始倾斜 = 0.1 rad。然后我们踢它一下，使得 = -15 rad s^-1。图 2.5-2.8 显示了陀螺在 2 秒内演化的各个方面。陀螺的倾斜度（由 度量）呈周期性变化。绕竖直方向的取向由 度量：我们看到陀螺也在进动，进动速率随 变化。我们还看到，随着陀螺上下摆动，旋转速率也在振荡——当陀螺更竖直时，它旋转得更快。倾斜度对进动角的图显示，在这种情况下陀螺执行一种环形运动。如果我们不踢它而只是让它落下，那么环消失，只剩下一个尖点。如果我们朝另一个方向踢它，则既没有尖点也没有环形运动。

练习 2.11. 陀螺的动能 陀螺的转动动能可以用关于支点的主转动惯量和关于支点的旋转角速度矢量来表示。证明这种动能表达式与通过计算绕质心的转动动能和质心运动的动能之和所得的值相同。

练习 2.12. 陀螺的章动 a. 进行代数运算，得到用 和 表示的能量 (2.66)。

b. 对陀螺的拉格朗日方程进行数值积分，得到图 2.5，即 随时间的变化。

c. 注意到能量是关于 的 的微分方程，其中守恒量 p、p 和 E 由初始条件确定。我们能否用这个微分方程得到 作为时间的函数？请解释。

练习 2.13. 陀螺的进动 考虑一个旋转的陀螺，其 为常数。

a. 利用角动量积分，计算进动速率 作为守恒角动量和 平衡值的函数。

b. 要使 处于平衡，加速度 D^2 必须为零。利用关于 的拉格朗日方程，用平衡时的 和 表示平衡时的进动速率 。

c. 求 很大时进动速率的近似表达式。

d. 牛顿定律指出，角动量的变化率等于力矩。假设陀螺旋转得非常快，以至于角动量几乎等于绕对称轴旋转的角动量。通过将这个矢量角动量的变化率与质心上的重力矩相等，推导进动速率的近似公式。

e. 对陀螺进行数值积分以验证你的推论。