2.9 自由刚体的运动

用一组适当的广义坐标表示的动能就是自由刚体的拉格朗日量。在 2.1 节中，我们发现刚体的动能可以写作转动动能和平动动能之和。如果我们选择一组坐标来指定位置，另一组坐标来指定取向，拉格朗日量就成为平动拉格朗日量与转动拉格朗日量之和。平动运动的拉格朗日方程与转动运动的拉格朗日方程不耦合。对于自由刚体，平动运动就是自由粒子的运动：匀速运动。这里我们集中讨论自由刚体的转动运动。我们可以采用欧拉角作为指定取向的坐标；上一节已经给出了用欧拉角表示的转动动能。

守恒量

自由刚体的拉格朗日量不显含时间，因此我们可以推断，能量（即动能）在运动过程中是守恒的。

拉格朗日量不依赖于欧拉角 ，因此我们可以推断与此坐标共轭的动量是守恒的。与 共轭的动量的显式表达式为

(define Euler-state
  (up 't
      (up 'theta 'phi 'psi)
      (up 'thetadot 'phidot 'psidot)))

(show-expression
 (ref (((partial 2) (T-rigid-body 'A 'B 'C)) Euler-state)
      1))

我们知道，由于拉格朗日量的对称性，这个复杂量在刚体运动中是守恒的。

如果没有外力矩，那么我们预期矢量角动量是守恒的。我们可以用拉格朗日形式来验证这一点。首先，我们注意到 Lz 与 p 是相同的。我们可以通过直接计算来验证：

(print-expression
 (- (ref ((Euler-state->L-space 'A 'B 'C) Euler-state)
         2)           
    (ref (((partial 2) (T-rigid-body 'A 'B 'C)) Euler-state)
         1)))
;Value: 0

我们知道 p 是守恒的，因为自由刚体的拉格朗日量不涉及 ，所以现在我们知道 Lz 是守恒的。由于坐标轴的取向是任意的，我们知道如果任意一个直角分量守恒，那么所有分量都守恒。因此，自由刚体的矢量角动量是守恒的。

我们本可以借助诺特定理（见 1.8.4 节）看出这一点。存在一个连续的旋转变换族，可以将任意取向变换为任意其他取向。我们用来定义欧拉角的坐标轴取向是任意的，且动能（拉格朗日量）对任何坐标系的选择都是相同的。因此，这种情况满足诺特定理的要求，该定理告诉我们存在一个守恒量。特别地，绕每个坐标轴的旋转变换族给出了该轴上角动量分量的守恒。我们将这些贡献组合起来构造矢量角动量。

练习 2.10. 矢量角动量 补充诺特定理蕴含自由刚体运动中矢量角动量守恒这一论证的细节。

2.9.1 计算自由刚体的运动

用欧拉角表示的自由刚体运动的拉格朗日方程相当复杂，因此我们不在此展示。然而，我们将使用拉格朗日方程来探索自由刚体的运动。

在此之前值得注意的是，用欧拉角表示的运动方程在某些位形下是奇异的，因为对于这些位形，欧拉角不是唯一确定的。如果我们设 = 0，那么一个取向并不对应于 和 的唯一值；只有它们的和决定取向。

当我们试图用广义坐标和广义速度求解广义坐标的二阶导数时（见 1.7 节），显式拉格朗日方程中就会出现奇异性。分离二阶导数需要乘以 2 2 L 的逆。当欧拉角 为零时，这个量的行列式变为零：

(show-expression
 (determinant 
  (((square (partial 2)) (T-rigid-body 'A 'B 'C))
   Euler-state)))

因此，当 为零时，我们无法求解二阶导数。当 很小时，欧拉角可能变化得非常快，从而难以可靠地计算。当然，刚体的运动对于任何取向都是完全良好的。这是用欧拉角表示该运动的问题；它是一个“坐标奇点”。

解决这个问题的一种方法是使用另一组类欧拉坐标，其拉格朗日方程在不同取向上具有奇异性，例如公式 (2.40) 中定义的那些。因此，如果在计算过程中轨迹接近一组坐标中的奇点，我们可以切换坐标系，暂时使用另一组，直到轨迹遇到另一个奇点。这解决了问题，但很繁琐。目前我们将忽略这个问题并计算一些轨迹，注意将注意力限制在避免奇点的轨迹上。

我们将通过数值积分计算一些轨迹，并通过观察能量和角动量的守恒程度来检查我们的积分过程。然后，我们将研究角动量在主轴基上的分量的演化。我们将发现，通过结合从能量和角动量获得的信息，我们可以了解刚体定性行为的许多信息。

为了从初始条件生成轨迹，我们像第一章那样积分拉格朗日方程。系统导数从拉格朗日量获得：

(define (rigid-sysder A B C)
  (Lagrangian->state-derivative (T-rigid-body A B C)))

以下程序监测能量和角动量分量中的误差：

(define ((monitor-errors win A B C L0 E0) state)
  (let ((t (time state))
        (L ((Euler-state->L-space A B C) state))
        (E ((T-rigid-body A B C) state)))
    (plot-point win t (relative-error (ref L 0) (ref L0 0)))
    (plot-point win t (relative-error (ref L 1) (ref L0 1)))
    (plot-point win t (relative-error (ref L 2) (ref L0 2)))
    (plot-point win t (relative-error E E0))))
(define (relative-error value reference-value)
  (if (zero? reference-value)
      (error "Zero reference value -- RELATIVE-ERROR")
      (/ (- value reference-value) reference-value)))

我们创建一个绘图窗口来显示误差：

(define win (frame 0. 100. -1.e-12 1.e-12))

系统默认使用的积分方法是 Bulirsch-Stoer (bulirschstoer)，但这里我们将积分方法设置为质量控制龙格-库塔法 (qcrk4)，因为误差图更为有趣：

(set! *ode-integration-method* 'qcrk4)

我们使用 evolve 来研究演化过程：

(let ((A 1.) (B (sqrt 2.)) (C 2.)   ; moments of inertia
      (state0 (up 0.0               ; initial state
                  (up 1. 0. 0.)
                  (up 0.1 0.1 0.1))))
  (let ((L0 ((Euler-state->L-space A B C) state0))
        (E0 ((T-rigid-body A B C) state0)))
    ((evolve rigid-sysder A B C)
     state0
     (monitor-errors win A B C L0 E0)
     0.1                  ; step between plotted points
     100.0                ; final time
     1.0e-12)))           ; max local truncation error

所绘制的角动量分量和能量的相对误差图（见图 2.2）显示，我们成功地控制了守恒量中的误差。这应该让我们对演化的轨迹有一定的信心。

2.9.2 自由刚体运动的定性特征

角动量在主轴上的分量的演化具有一个显著的性质。对于几乎所有的初始条件，角动量的体分量周期性地描绘出一条简单的闭合曲线。

我们可以通过研究若干条轨迹并绘制角动量在主轴上的体分量图（见图 2.3）来看出这一点。为了制作该图，计算了若干条等能量的轨迹。将体分量的三维空间投影到二维平面上进行显示。在能量椭球体的这一投影中，背面点的绘制密度低于前面点。对于大多数初始条件，我们发现一条一维简单闭合曲线。前面的一些轨迹看似与后面的轨迹相交，但这是投影的假象。还有一族轨迹看起来相交于两点，一个在前面，一个在后面。这些轨迹的并集所构成的曲线称为分界线；它将不同类型的运动分开。

这是怎么回事？自由刚体的状态空间是六维的：三个欧拉角及其时间导数。我们知道四个运动常数——角动量的三个空间分量，Lx、Ly 和 Lz，以及能量 E。因此，运动被限制在状态空间的一个二维区域中。[9] 我们的实验表明，角动量分量在角动量子空间中描绘出一维闭合曲线，因此这里还有更多情况。

如果所有分量都守恒，则总角动量守恒，因此我们还有常数

角动量的空间分量不发生变化，但角动量在主轴上的投影当然会变化，因为轴随着刚体运动而运动。然而，无论从固定基上的分量还是从主轴基上的分量计算，角动量矢量的大小是相同的。因此，组合量

是守恒的。

利用用角速度矢量在主轴上的分量表示角动量的表达式 (2.53-2.55)，可以将动能 (2.30) 用角动量在主轴上的分量重新写出：

这两个守恒量 (2.57 和 2.58) 对角动量矢量在主轴上的分量如何变化提供了约束。我们识别出角动量积分 (2.57) 是球面方程，动能积分 (2.58) 是三轴椭球面方程。两个积分都守恒，因此角动量分量被约束在能量椭球面和角动量球面这两个曲面的交线上运动。椭球面与同心的球面的交线通常为两条闭合曲线，因此轨道被限制在其中一条曲线上。这揭示了本节开头提出的谜题。

由于我们规定的顺序 A < B < C，如果所有角动量都沿着最大主转动惯量的轴，这个三轴椭球体的最长轴与 方向重合；如果所有角动量都沿着最小转动惯量的轴，能量椭球体的最短轴与 hat_a 轴重合。在不实际求解拉格朗日方程的情况下，我们发现了对角动量在主轴上的分量演化的强约束。

为了确定系统如何沿这些交线演化，我们必须使用运动方程。我们观察到，角动量在主轴上的分量的演化仅依赖于角动量在主轴上分量本身，尽管这些分量的值不足以完全确定动力学状态。显然，这些分量的动力学是自洽的，我们将看到它可以用一组微分方程来描述，其中仅有的动力学变量就是角动量在主轴上的分量（见 2.12 节）。

我们注意到，有两条轴使得当保持能量恒定并改变角动量的大小时，交线收缩为一点。如果角动量从这些点出发，积分约束迫使角动量停留在那里。这些点是角动量体分量的平衡点。然而，它们并不是整个系统的平衡点。在这些点上，即使角动量的体分量不变化，刚体仍然在旋转。这种平衡称为相对平衡。我们还可以看到，如果角动量初始时稍微偏离其中一个相对平衡位置，那么角动量被约束在一条交线上靠近该位置。角动量矢量在空间中是固定的，因此刚体平衡点的主轴围绕角动量矢量稳定地旋转。

在具有中间转动惯量的主轴上，即 轴，交线发生交叉。正如我们观察到的，角动量在主轴上的分量的动力学形成了一个自洽的动力系统。动力系统的轨迹不能交叉[10]，因此最多只能发生这样的情况：如果运动方程使系统沿交线运动，那么系统只能渐近地趋近交叉点。因此，不解任何方程我们就可以推断，交叉点是另一个相对平衡点。如果角动量初始时与中间轴对齐，那么它将保持对齐。如果系统稍微偏离中间轴，那么沿交线的演化将使系统远离相对平衡位置。因此，绕中间转动惯量轴的旋转是不稳定的——角动量的初始偏离，无论最初多么微小，都会变得很大。同样，角动量矢量在空间中是固定的，但现在具有中间主转动惯量的主轴并不保持在角动量附近，因此刚体执行复杂的翻滚运动。

这为本章开头提到的抛书之谜提供了一些见解。如果一本书被抛出时初始绕最大转动惯量轴或最小转动惯量轴（分别对应物理上的最小轴和最大轴）旋转，那么书会规则地绕该轴旋转。然而，如果书被抛出时初始绕中间转动惯量轴（物理上的中间轴）旋转，那么无论抛出时多么小心，它都会翻滚。你可以用这本书试一试（但先给它套上橡皮筋或绳子）。

在继续之前，我们可以做一些进一步的物理推论。假设一个自由旋转的刚体受到某种内摩擦的影响，这种内摩擦耗散能量但保持角动量守恒。例如，真实刚体在旋转时会发生弯曲。如果旋转轴相对于刚体移动，那么弯曲会随时间变化，这种变化的形变将旋转动能转化为热能。内部过程不会改变系统的总角动量。如果保持角动量大小固定但逐渐减小能量，那么系统运动的交线会逐渐变形。对于给定的角动量，能量存在一个下界：能量不能低到没有交线存在。对于这个最低能量，角动量球面与能量椭球面的交集是最大转动惯量轴上的一对点。随着能量耗散，自由旋转的物理刚体最终达到与给定角动量一致的最低能量状态，即绕最大转动惯量轴（通常是物理上的最短轴）旋转。

因此，我们预期给定足够时间，所有自由旋转的物理刚体最终都将绕最大转动惯量轴旋转。你可以通过旋转一个装有粘性流体（如修正液）的小瓶子来亲自验证这一点。你会发现，无论你试图让瓶子怎样旋转，它都会重新定向，使得最大转动惯量轴与旋转轴对齐。值得注意的是，对于太阳系中几乎所有有足够信息可以判断的天体，这几乎都是成立的。地球偏离主轴旋转的程度非常微小：地球的角动量矢量与 轴之间的夹角小于一角秒[11]。事实上，有证据表明，所有行星、月球和所有其他天然卫星，以及几乎所有小行星，都非常接近于绕最大转动惯量轴旋转。我们用一个基本论证推断出这是预期的结果。也存在例外。彗星通常不绕最大转动惯量轴旋转。当它们被太阳加热时，物质从局部喷流中喷出，这些喷流的反作用改变了旋转状态。在天然卫星中，已知的唯一例外是土星的卫星土卫七（Hyperion），它正在混沌地翻滚。土卫七特别不规则，并受到来自土星的强引力扭矩。