2.8 矢量角动量

质点的矢量角动量是位置与线性动量的叉积。对于刚体，矢量角动量是各组成部分矢量角动量之和。这里我们给出了刚体矢量角动量用惯性张量和角速度矢量表示的表达式。

刚体的矢量角动量为

其中 、 和 m 分别是构成粒子的位置、速度和质量。结果表明，矢量角动量分解为质心角动量与绕质心的旋转角动量之和，正如动能分离为质心平动动能和转动动能一样。与动能推导类似，将位置分解为指向质心的矢量 和从质心指向各质量元 的矢量：

相应的速度为

代入后，角动量为

展开乘积，并利用 是质心以及 M = sum m 是刚体总质量的事实，角动量为

质心角动量为

旋转角动量为

我们也可以像对动能所做的那样，用角速度矢量和惯性张量重新表示旋转角动量。利用 = × ，得到旋转角动量

关于基 {0, 1, 2} 的分量表示为

其中 Ijk 是惯性张量 (2.14) 的分量。角动量与动能用同一个惯性张量表示。

关于主轴基，角动量分量具有特别简单的形式：

练习 2.9. 验证用惯性张量表示的旋转角动量 (2.51) 分量表达式 (2.52) 是正确的。

我们可以定义计算角动量在主轴上分量的过程：

(define ((Euler-state->L-body A B C) local)
  (let ((omega-body (Euler-state->omega-body local)))
    (column-matrix (* A (ref omega-body 0))
                   (* B (ref omega-body 1))
                   (* C (ref omega-body 2)))))

然后我们将角动量在主轴上的分量变换到固定基 i 上的分量：

(define ((Euler-state->L-space A B C) local)
  (let ((angles (coordinate local)))
    (* (Euler->M angles)
       ((Euler-state->L-body A B C) local))))

这些过程是局部状态函数，类似于拉格朗日量。