2.5 主转动惯量

我们可以利用惯性张量的变换性质(2.24)来证明存在特殊的直角坐标系，使得惯性张量 I' 是对角的，即当 i ≠ j 时 I'ij = 0。假设 __P6__' 是对角的，并求解满足条件的旋转矩阵 __P7__。将(2.24)两边左乘 __P8__，我们有

我们可以通过右乘一个挑选特定列的平凡列向量来检查该矩阵方程的各个部分。因此，我们在右边乘上每个坐标单位向量 i 的列矩阵表示 __P1__i。这些列矩阵在第 i 行有一个1，其余行全为零。利用 __P5__i' = __P7__ __P8__i，我们得到

矩阵 __P0__' 是对角的，因此

因此，由方程(2.26)和(2.27)，我们有

我们认出这是关于特征值 I'ii 和关联特征向量分量的列矩阵 __P3__i' 的方程。

由 __P4__i' = __P6__ __P7__i，我们看到 __P9__i' 是旋转矩阵 __P11__ 的列。现在，旋转矩阵是正交的，因此 __P12__T __P13__ = 1；所以旋转矩阵的列必须是标准正交的——即 (__P14__i')T __P16__j' = ij，其中当 i = j 时 ij 为1，否则为0。但是，方程(2.28)的解特征向量甚至不一定正交。因此我们还没有完成。

如果矩阵是实对称的，则特征值是实数。此外，如果特征值互异，则特征向量正交。然而，如果特征值不互异，则简并特征值对应的特征向量方向并不唯一确定——我们可以自由选择特定的正交 __P0__i'。方程(2.28)的线性性质意味着 __P2__i' 可以归一化。因此，无论特征值是否互异，我们都可以得到一组标准正交的 __P4__i。这足以重构一个满足我们要求的旋转矩阵 __P6__：将坐标系旋转到使惯性张量为对角的形式。如果特征值不互异，旋转矩阵 __P7__ 不是唯一确定的——存在多个旋转矩阵 __P8__ 可以完成这一任务。

特征向量和特征值由惯性张量在旋转后的坐标系中为对角这一要求决定。因此，旋转后的坐标系相对于物体具有特定的取向。基向量 i' 实际上指向物体中的特定方向。我们将在物体中通过质心、沿这些方向定义的轴称为主轴。由构造，在 i' 定义的坐标系中，惯性张量是对角的，对角线上的元素为特征值 I'ii。因此，关于主轴的转动惯量就是特征值 I'ii。我们将关于主轴的转动惯量称为主转动惯量。

为方便起见，我们通常按大小标记主转动惯量：A < B < C，对应的主轴单位向量分别为 hata, , 。沿主轴的正方向可以这样选择，使得 hata, , 构成右手直角坐标系基。

令 __P4__ 表示向量 相对于基向量 i 的分量矩阵。回忆一下，向量 相对于主轴单位向量 i' 的分量 __P6__' 满足

这是合理的，因为 __P6__ 的列就是 __P7__i' 的分量。将 的分量乘以 __P9__ 的转置，就是求每个 i' 与 的点积以产生分量。向量在主轴基上的分量有时称为向量的体分量。现在让我们用主转动惯量来重转动能。如果我们选择直角坐标系使其与主轴重合，那么计算就很简单。设角速度向量在主轴上的分量为 (a, b, c)。那么，考虑到惯性张量在主轴基下是对角的，动能就是

练习2.5. 转动惯量的一个约束 证明任意两个转动惯量之和大于或等于第三个转动惯量。你可以假设这些转动惯量是关于正交轴的。

练习2.6. 主转动惯量 对下面描述的每种构型，求出关于质心的主转动惯量；并求出相应的主轴。

a. 由四个相等的质点用刚性无质量导线连接而成的正四面体。

b. 均匀密度的立方体。

c. 五个相等的质点用无质量材料刚性连接。这些质点的直角坐标为：

练习2.7. 这本书 测量这本书。你应当承认它相当致密。别担心，你之后会有机会扔掉它。证明主轴是连接近似于这本书的理想化长方体相对面中心的直线。计算相应的主转动惯量。