2.6 角速度向量的表示

我们可以通过指定将物体从某个参考取向带到当前取向的旋转来描述物体的取向。当物体运动时，实现这一旋转的变换也随之改变。角速度向量可以用沿路径的这个变化旋转来表示。

令 q 为我们将用于描述物体运动的坐标路径。令 M(q(t)) 为将物体从参考取向带到 q(t) 指定的取向的旋转（见图2.1）。令 (t) 为当物体处于 q(t) 指定的取向时指向某个组成粒子的向量，令 ' 为当物体处于参考取向时指向同一组成粒子的向量。则

组成向量 / 不依赖于构型，因为它们是当物体处于固定参考取向时指向各组成粒子位置的向量。

我们已经找到了用角速度向量和惯性张量表示动能的一个表达式。这里我们用另一种方式来做到这一点。为了计算动能，我们累加所有质量元的贡献。在给定时刻 t，组成粒子的位置为

其中 M = M o q。速度是时间导数

利用方程(2.32)，我们可以写出

回忆速度由旋转产生，且速度为（见方程2.11）

因此我们可以将算子 (t) × 等同于 DM(t) (M(t))⁻¹。为了构建动能，我们需要从中提取出 (t)。

如果向量 由分量矩阵 __P2__ 表示，其分量为 x、y 和 z，那么从分量矩阵 __P7__ 生成 × 的矩阵表示的函数 A 为

这个函数的逆可以应用于任何反对称矩阵，因此我们可以用 A⁻¹ 从 × 关于 M 的矩阵表示中提取角速度向量的分量 ：

其中 __P0__ 和 D__P2__ 分别是函数 M 和 DM 的矩阵表示，并且我们利用了以下事实：对于旋转的矩阵表示，转置给出逆矩阵。

角速度向量在主轴上的分量 ' 为 ' = __P4__T ，因此

角速度向量与路径之间的关系是一种运动学关系；它对任何路径都成立。因此，我们可以将其抽象化，从而在给定某一时刻的构型和速度时得到该时刻的角速度分量。

角速度函数的实现

下面的过程给出了沿路径作为时间函数的角速度分量：

(define (((M-of-q->omega-of-t M-of-q) q) t)
  (define M-on-path (compose M-of-q q))
  (define (omega-cross t)
    (* ((D M-on-path) t)
       (m:transpose (M-on-path t))))
  (antisymmetric->column-matrix (omega-cross t)))

过程 omega-cross 生成 × 的矩阵表示。过程 antisymmetric->column-matrix 对应于函数 A⁻¹，用于从反对称的 × 矩阵中提取角速度向量的分量。

角速度向量沿路径作为时间函数的体分量为

(define (((M-of-q->omega-body-of-t M-of-q) q) t)
  (* (m:transpose (M-of-q (q t)))
     (((M-of-q->omega-of-t M-of-q) q) t)))

我们可以通过在具有给定坐标和速度的任意路径上抽象这些过程，得到给出角速度分量的局部状态过程。从路径的过程到状态过程的抽象由 Gamma-bar 完成（见第1.9节）：

(define (M->omega M-of-q)
  (Gamma-bar
    (M-of-q->omega-of-t M-of-q)))

(define (M->omega-body M-of-q)
  (Gamma-bar
    (M-of-q->omega-body-of-t M-of-q)))

这些过程给出作为状态函数的角速度。在我们得到一些可使用的 M-of-q 之后，我们将看到它们的实际应用。