2.4 惯量张量

转动动能用惯量张量的表示是在基矢为i的直角坐标系的辅助下推导出来的。这个特定的直角基并没有什么特殊之处。因此，动能必须在任何直角坐标系中都具有相同的形式。我们可以利用这一事实来推导当刚体或坐标系转动时惯量张量如何变化。

让我们稍微讨论一下active和passive转动。矢量经过转动R作用后产生一个新矢量' = R 。我们可以将用其在某个具有标准正交基矢i的任意直角坐标系上的分量表示： = x0 0 + x1 1 + x2 2。记__P18__为的分量列矩阵x0、x1和x2，并记__P22__为R在相同基下的矩阵表示。在此表述下，转动可以写作__P24__' = __P25__ __P26__。转动矩阵__P27__是一个实正交矩阵。⁴ 将矢量带到新矢量的转动称为active转动。

或者，我们可以通过转动基矢来转动坐标系，但保持可能用它们表示的其他矢量不变。如果一个矢量保持不变而基矢被转动，那么该矢量在转动后的基矢上的分量与在原始基矢上的分量不同。将转动后的基矢记为i' = R i。矢量沿某个基矢的分量是该矢量与基矢的点积。因此，矢量沿转动后的基i的分量为(x')i = · i' = · (R i) = (R⁻¹ ) · i。⁵ 因此，关于转动后的基元的分量与转动后的矢量R⁻¹ 关于原始基的分量相同。用分量表示，如果矢量关于原始基矢i的分量为__P26__，那么同一矢量关于转动后的基矢i的分量__P28__'满足__P30__' = __P31__⁻¹ __P32__，或者等价地__P33__ = __P34__ __P35__'。主动转动基矢而保持其他矢量不变的转动称为passive转动。对于被动转动，固定矢量的分量变化方式就好像该矢量被逆转动主动转动了一样。

关于直角基i，转动动能写为

用矩阵表示，动能为

其中是表示的分量列矩阵。⁶ 如果我们通过被动转动R绕转动中心旋转坐标系，新的基矢为i' = R i。矢量关于旋转后坐标系的分量'满足

其中__P0__是R的矩阵表示。动能为

然而，如果我们从基i'出发，我们本可以直接将动能写为

其中分量是相对于i'基取的。对比这两个表达式，我们看到

因此惯量矩阵通过相似变换进行变换。⁷