2.3 转动惯量

转动动能是刚体各组成部分动能之和。我们可以用角速度矢量和由刚体质量分布决定的某些聚合量来重新表示转动动能。

将相对速度矢量的表示代入转动动能，我们得到

我们引入一个任意直角坐标系，其原点位于转动中心，基矢为0、1和2，满足0 × 1 = 2。在该坐标系上的分量为0、1和2。将用其分量重新表示，转动动能变为

其中

量Iij是关于所选坐标系的惯量张量的分量。

注意动能呈现出多么非凡的形式。我们所做的只是交换了求和顺序，但现在动能被写成了角速度矢量分量（它们完全刻画了刚体取向的变化方式）与量Iij（它仅依赖于刚体相对于所选坐标系的质量分布）的乘积之和。

我们将推导惯量张量的若干性质。首先，我们找到它的一个更简单的表达式。矢量的分量为（、、）。³ 如果将写成其分量之和，并简化基矢的初等矢量积，我们可以得到惯量张量的分量。我们可以将惯量张量的分量排列成惯量矩阵__P10__，其形式如下：

惯量张量具有实分量并且是对称的：Ijk = Ikj。

我们定义关于某条直线的转动惯量I为

其中|是从该直线到指标为的组成粒子的垂直距离。惯量张量的对角分量Iii可以识别为关于与坐标轴i重合的直线的转动惯量。惯量张量的非对角分量称为惯量积。

刚体的转动动能仅通过惯量张量依赖于刚体的质量分布。值得注意的是，惯量张量只涉及质量分布关于质心的二阶矩。我们原本可能期望动能以复杂的方式依赖于质量分布的所有矩，并与角速度矢量的分量以某种复杂的方式交织在一起，但事实并非如此。这一事实有一个非凡的推论：对于自由刚体的运动，刚体的具体形状并不重要。如果一本书和一个香蕉具有相同的惯量张量，即相同的二阶质量矩，那么如果以相同的方式抛出，后续的运动将完全相同，无论该运动多么复杂。书有棱角而香蕉有茎这一事实不影响运动，除非它们对惯量张量有贡献。一般来说，一个扩展体的势能并非如此简单，它确实依赖于质量分布的所有矩，但对于动能而言，只有二阶矩才是重要的！

练习 2.1. 转动动能 证明转动动能也可以写成

其中I是通过质心且方向为的直线上的转动惯量，是瞬时转动速率。

练习 2.2. 施泰纳定理 设I是刚体关于某条通过质心的给定直线的转动惯量。证明关于第二条平行于第一条的直线的转动惯量I'为

其中M是刚体的总质量，R是两直线之间的距离。

练习 2.3. 一些有用的转动惯量 证明以下物体的转动惯量如所给：

a. 质量为M、半径为R的均匀密度球体关于通过球心的任意直线的转动惯量为(2/5)MR²。

b. 质量为M、半径为R的球壳关于通过球心的任意直线的转动惯量为(2/3)MR²。

c. 质量为M、半径为R的均匀密度圆柱体关于其轴线的转动惯量为(1/2)MR²。

c. 单位长度密度均匀、质量为M、长度为L的细杆关于通过质心且垂直于杆的轴的转动惯量为(1/12)ML²。

练习 2.4. Jupiter a. 行星的密度向中心增加。试论证行星的转动惯量小于具有相同质量和半径的均匀密度球体的转动惯量。

b. 木星内部密度作为半径的函数很好地近似为

其中M为木星的质量，R为木星的半径。用M和R表示木星的转动惯量。