2.1 转动动能

我们将刚体视为由大量组成粒子构成，具有质量 m、位置 和速度 ，它们之间有刚性位置约束。动能为

事实证明，刚体的动能可以分成两部分：平动动能和转动动能。让我们看看这是如何产生的。

刚体的构型由体内任意点的位置和体的方向完全指定。这表明，将组成粒子的位置矢量分解为指向体内某参考位置的矢量 与从参考位置指向索引为 的特定组成元素的矢量 之和是有用的：

沿路径，速度的关系为

因此，用 和 表示的动能为

如果我们选择体中的参考位置为其质心，

其中 M = sum m 是体的总质量，则

因此，沿路径，相对速度满足

则动能为

动能是质心处总质量运动的动能

与绕质心的转动动能之和

用适当的广义坐标写出时，动能是自由刚体的拉格朗日量。如果我们选择广义坐标，使得质心位置完全由其中一些坐标指定，方向完全由其他坐标指定，那么自由刚体的拉格朗日方程将解耦为两组方程，一组涉及质心运动，一组涉及方向。

这种分离可能发生在其他问题中，例如在均匀重力场中运动的刚体，但一般来说，势能不能像动能那样分离。因此，质心运动和转动运动通常通过势能耦合。即使在这些情况下，选择分别指定质心位置和方向的广义坐标通常也是有利的。