第 2 章 刚体

刚体的运动展现出许多令人惊讶的现象。

考虑一个陀螺的运动。陀螺通常被认为是一个轴对称体，受重力作用，对称轴上的一个点在空间中固定。陀螺被旋转，通常执行某种复杂的运动。我们观察到陀螺通常会稳定到一种不寻常的运动中，其对称轴缓慢地绕垂直方向进动，看起来垂直于重力试图加速它的方向运动。

考虑一本书被抛到空中的运动。1 书有三条主轴。如果我们把书理想化为具有矩形面的砖块，三条轴就是通过相对面中心的直线。尝试绕每条轴旋转书。绕最长轴和最短轴旋转书的运动是一种简单的规则转动，也许根据抛出的仔细程度会有轻微的摆动。绕中间轴旋转书的运动在性质上不同：无论多么仔细地绕中间轴旋转书，它都会翻滚。

月球的旋转很奇特，因为它总是以同一面对着地球，表明自转周期和轨道周期相同。考虑到月球的轨道由于与太阳和其他行星的相互作用而不断变化，因此其轨道周期不断经历微小变化，我们可能期望我们看到的月球表面会缓慢变化，但事实并非如此。呈现在我们面前的那个面有什么特别之处？

刚体可以被认为是由大量具有刚性约束的组成粒子构成。因此，支配刚体运动的动力学原理与支配任何其他具有刚性约束的粒子系统的运动原理相同。新的问题是，组成粒子的数量非常大，我们需要开发新的工具来有效处理它们。

我们已经发现，具有刚性约束的系统的拉格朗日量可以写成动能和势能之差。动能和势能自然地用组成粒子的位置和速度来表达。要用广义坐标和速度写出拉格朗日量，我们必须指定将广义坐标与组成粒子位置联系起来的函数。在迄今为止考虑过的具有刚性约束的系统中，这些函数是针对每个组成粒子显式给出的，并单独包含在拉格朗日量的推导中。然而，对于刚体，组成粒子太多，无法以这种方式逐一处理。我们需要找到用广义坐标和速度表达刚体动能和势能的方法，而无需逐粒子的细节。

策略是首先用表征物体质量分布和运动状态基本方面的量来重写动能和势能。只有在之后我们才引入广义坐标。对于动能，事实证明少量的参数就完全指定了运动状态和物体质量分布的相关方面。对于势能，我们发现对于某些特定问题，势能可以用少量参数表示，但一般来说，我们必须进行近似才能获得具有可管理数量参数的表示。