练习 1.38. 数值研究 考虑一个摆：在均匀重力场中，质量 m 由长度为 l 的无质量杆支撑。摆的拉格朗日量为
0 = (g/l)1/2。让我们找出具有频率 1 = (4/5) 0 的非平凡解。
a. 角度在时间上是周期性的，因此傅里叶级数表示是合适的。我们可以选择时间的原点，使角度过零点在时间零点。由于势能是角度的偶函数，角度是时间的奇函数。因此我们只需要正弦级数。由于角度在半个周期后回到零，角度关于中点的时间是奇函数。因此级数中只存在奇次项：
max = sumn=1infty ( - 1)n+1 An。
通过最小化作用量找到前几个系数 An 的近似值。你需要编写一个类似于第 1.4 节中 find-path 过程的程序。注意：可能存在不止一个使作用量最小化的轨迹。
b. 编写一个程序数值积分摆的轨迹的拉格朗日方程。使用数值积分解决这个问题的麻烦在于，我们不知道运动的频率如何依赖于初始条件。因此我们必须猜测，然后逐步改进我们的猜测。定义一个函数 
(
)，它数值计算作为初始角速度函数的运动频率（其中 = 0）。通过求解 () = 来找到所需轨迹的初始角速度。求解该方程的方法包括逐次二分法、最小化平方残差等——选择一种。
c. 现在让我们制定作为振幅函数的频率解析解。运动的周期简单地是
求解 ，以显式写出所需的积分。该积分可以用椭圆函数表示，但从某种意义上说这并没有解决问题——我们仍然需要计算椭圆函数。让我们避免这种对椭圆函数的涉足，而使用过程 definite-integral 直接进行数值积分。我们仍然存在这样的问题：我们可以指定振幅 A 并得到频率；要解决我们的问题，我们需要解决反问题，但这可以像部分 b 中那样完成。
练习 1.39. 双摆行为 考虑图 1.11 所示的理想双摆。 a. 制定拉格朗日量以描述动力学。用给定的角度
1 和 2 推导运动方程。将方程转化为适合数值积分的形式。假设以下系统参数：
