1.11 总结

要分析一个力学系统，我们构建一个作用量函数，它为我们提供一种方法，将可实现运动与系统其他可想象的运动区分开来。作用量函数的构造方式使其仅在描述可实现运动的路径上（关于路径的变分）是平稳的。这称为平稳作用量原理。平稳作用量原理是可实现路径的坐标无关的规范。对于有约束或无约束的系统，我们可以选择任何唯一确定系统构型的坐标系。

对于大量力学系统，作用量是一个函数（称为拉格朗日量）沿路径的积分。对于许多系统，一个合适的拉格朗日量是系统的动能与势能之差。系统拉格朗日量的选择不是唯一的。

对于任何具有拉格朗日作用量的系统，我们都可以 formulate 一个常微分方程组——拉格朗日方程——任何可实现路径都满足该方程组。从拉格朗日量推导拉格朗日方程的方法独立于用于表述拉格朗日量的坐标系。我们在表述中的一个自由度是，向系统的拉格朗日量添加一个全时间导数会得到另一个具有相同拉格朗日方程的拉格朗日量。

拉格朗日方程是一组常微分方程：存在一个有限的状态，该状态总结了系统的历史并足以确定未来。存在一个从时刻的状态演化系统运动的有效过程。对于许多系统，状态由时刻的坐标和坐标变化率确定。

如果物理系统中存在连续对称性，则存在与之相关的守恒量。如果系统可以用对称性体现为拉格朗日量中的缺失坐标的方式来表述，那么存在共轭于这些坐标的守恒动量。如果拉格朗日量与时间无关，那么存在守恒能量。