1.3 广义坐标

为了能够谈论具体的构型，我们需要一组参数来标记构型。用于指定系统构型的参数称为广义坐标。考虑一个不受约束的自由粒子。粒子的构型通过给出其位置来确定。这需要三个参数。不受约束的粒子有三个自由度。指定粒子位置的一种方法是相对于选定的坐标轴指定其直角坐标。位置的直角分量是自由粒子的广义坐标。或者考虑一个理想的平面双摆：一个质点通过刚性杆约束到距离固定点给定距离的位置，第二个质点通过另一刚性杆约束到距离第一个质点给定距离的位置，所有这些都限制在垂直平面内。如果给出了两根杆的方向，构型就确定了。这至少需要两个参数；平面双摆有两个自由度。指定每根杆方向的一种方法是指定它与垂直方向所成的角度。这两个角度就是平面双摆的广义坐标。

坐标的数量不必与构型空间的维数相同，尽管至少需要有那么多。我们可以选择使用比必要数量更多的参数，但这些参数将受到约束，这些约束将系统限制在可能的构型上，即限制在构型空间的元素上。

对于上述平面双摆，两个角度坐标就足以指定构型。我们也可以取各质点在平面内相对于所选坐标轴的直角坐标作为广义坐标。这些也是很好的坐标，但我们必须明确记住那些将可能构型限制为系统实际几何形状的约束。具有与构型空间相同维数的坐标集更易于处理，因为我们不必处理坐标之间的显式约束。因此，目前我们只考虑构型坐标数目等于自由度数目的表述；稍后我们将学习如何处理具有冗余坐标和显式约束的系统。

一般而言，构型构成一个空间M，其维数为n。n维构型空间可以通过选择坐标函数来参数化，该函数将构型空间的元素映射到n维实数组。如果维数大于一，函数是n个独立坐标函数[19]i（其中i = 0,...,n - 1）的元组，每个i是定义在构型空间某个区域上的实值函数。[20] 对于构型空间M中的给定构型m，坐标函数的值i(m)就是该构型的广义坐标。这些广义坐标使我们能够将n维构型空间的点与n维实数组等同起来。[21] 对于任何给定的构型空间，都有多种选择广义坐标的方式。即使是单个无约束运动的点，我们也可以选择直角坐标、极坐标或任何其他我们喜欢的坐标系。

系统的运动可以用构型路径来描述，它将时间映射到构型空间的点。对应于构型路径的是坐标路径q = o ，它将时间映射到广义坐标的元组。如果自由度数大于一，坐标路径是一个结构化对象：q是分量坐标路径函数qi = i o 的元组。在每个时刻t，值q(t) = ( q0(t), ..., qn-1(t) ) 是一个构型的广义坐标。

坐标路径q的导数Dq是一个函数，[22] 它给出给定时刻构型坐标的变化率：Dq(t) = ( Dq0(t), ..., Dqn-1(t) )。广义坐标的变化率称为广义速度。

我们也可以对路径的高阶导数进行坐标表示。我们引入函数（读作“chart”），它将坐标表示扩展到局域元组：[23]

其中q = o 。函数将无坐标的局域元组（ t, (t), (t), ... ）转换为一个坐标表示，该表示是一个元组，包含时间、该时刻坐标路径函数的值以及所需数量个坐标路径函数导数的值。

给定坐标路径q = o ，局域元组的其余部分可以从中计算出来。我们引入函数来完成这一工作：

函数[q]仅依赖于坐标路径q及其导数；函数[q]不依赖于或q是通过与复合而成这一事实。由关系式(1.5)和(1.6)我们得到

练习 1.3. 广义坐标 对于练习 1.2 中的每个系统，指定一组可用于描述该系统行为的广义坐标。

广义坐标下的拉格朗日量

作用量是特定拉格朗日量下构型路径片段的一个性质。作用量不依赖于用于标记构型的坐标系。我们可以利用这一性质找到拉格朗日量的坐标表示L。

作用量为

拉格朗日量是局域元组[](t) = ( t, (t), (t), ... )的函数。局域元组的坐标表示为[q] = o [] ，其中q = o 。因此，如果我们选择[24]

那么[25]

左边是使用坐标表示作为中介的函数复合；右边是不涉及坐标的两个函数的复合。我们将作用量的坐标表示定义为

函数S接受一个坐标路径；函数接受一个构型路径。由于被积函数由方程(1.10)相同，积分具有相同的值：

因此，我们有了一种构造拉格朗日量坐标表示的方法，该方法在任何坐标系中为同一条路径给出相同的作用量。

对于仅依赖于位置和速度的拉格朗日量，作用量也可以写作

在定义拉格朗日量或作用量时使用的坐标系通常是无歧义的，因此下标通常会被省略。

[19] 具有相同定义域的函数元组本身是该定义域上的一个函数：给定定义域中的一个点，函数元组的值是该点处分量函数值的元组。

[20] 用上标来索引坐标分量是传统做法，尽管这可能会与指数等产生混淆。我们使用从零开始的索引。

[21] 更精确地说，广义坐标将构型空间的开子集与Rn的开子集等同起来。可能需要多于一组广义坐标才能覆盖整个构型空间。例如，如果构型空间是一个二维球面，我们可以有一组坐标将（略大于）北半球的区域映射到一个圆盘，另一组坐标将（略大于）南半球的区域映射到另一个圆盘，而赤道附近的一个带状区域对两个坐标系是公共的。一个可以用光滑坐标函数局域参数化的空间称为微分流形。微分流形理论可用于建立变分力学的无坐标处理。从这一视角对力学的介绍可参见文献[2]或[5]。

[22] 函数f的导数是一个函数，记为Df。我们的符号约定是D是一个高优先级运算符。因此D在任何其他应用之前作用于相邻的函数：Df(x)与(Df)(x)相同。

[23] 的形式定义对讨论并不重要，但如果你真的想知道，这里给出一种方式：首先，我们通过指定它如何作用于构型的足够光滑的实值函数f，用普通导数来定义构型路径的导数 ：(n )(t)(f) = Dn (f o )(t)。然后我们定义(a, b, c, d, ...) = ( a, (b), c(), d(), ... )。根据此定义：

[24] 坐标函数是局部可逆的，也是如此。

[25] o [] = o -1 o o [] = L o [ o ] = L o [q] 。