1.2 构型空间

让我们考虑那些可以被认为由具有质量和位置但没有内部结构的组成点粒子构成的力学系统。17 扩展物体可以被认为由大量这些组成粒子构成，它们之间具有特定的空间关系。扩展物体由于组成粒子之间的空间约束而保持其形状。指定系统中所有组成粒子的位置就指定了系统的构型。系统各部分之间存在约束（例如决定扩展物体形状的那些约束）意味着组成粒子不能占据所有可能的位置。系统可能占据的所有构型的集合称为系统的构型空间。构型空间的维数是完全指定构型所需给出的最小参数数目。构型空间的维数也称为系统的自由度数。18

对于单个无约束粒子，指定构型需要三个参数。一个点粒子具有三维构型空间。如果我们处理的是具有多于一个点粒子的系统，构型空间就更复杂。如果有 k 个独立的粒子，我们需要 3k 个参数来描述可能的构型。如果系统各部分之间存在约束，构型就被限制到一个更低维的空间。例如，一个由两个点粒子组成的系统，被约束在三维空间中运动且粒子之间的距离保持固定，该系统具有五维构型空间：用三个数我们可以固定一个粒子的位置，再用另外两个数我们可以给出另一个粒子相对于第一个粒子的位置。

考虑一个杂耍棒。如果我们给出构成杂耍棒的原子位置，就指定了棒的构型。然而，存在更经济的构型描述方式。在杂耍棒是真正刚性的理想化情形中，棒的所有原子之间的距离保持恒定。因此，我们可以通过给出单个原子的位置和棒的方向来指定棒的构型。利用约束，棒的所有其他组成粒子的位置可以从这些信息确定。杂耍棒构型空间的维数为六：指定空间中位置的最小参数数目为三，指定方向的最小参数数目也为三。

随着系统随时间演化，组成粒子在约束下运动。每个组成粒子的运动通过描述不断变化的构型来指定。因此，系统的运动可以被描述为沿着构型空间中的一条路径演化。构型路径可以由一个函数——构型路径函数——来指定，该函数给出系统在任何时刻的构型。

练习 1.2. 自由度 对于下面描述的每个力学系统，给出构型空间的自由度数。

a. 三个杂耍棒。

b. 一个球面摆，由一个点质量悬挂在一根连接到固定支撑点的刚性无质量杆上构成。摆锤可以在刚性杆施加的约束下沿任何方向运动。点质量受到均匀重力作用。

c. 一个球面双摆，由一个点质量悬挂在一根连接到第二个点质量的刚性无质量杆上，第二个点质量再通过第二根无质量杆连接到固定支撑点构成。点质量受到均匀重力作用。

d. 一个点质量在刚性弯曲金属丝上无摩擦滑动。

e. 一个陀螺，由一个刚性的轴对称体构成，其对称轴上的一个点连接到固定支撑，受均匀重力作用。

f. 与 e 相同，但非轴对称。