4.7 小结

典型哈密顿系统的截面图呈现出各种特征，包括不动点、不变曲线、共振岛和混沌区。可积系统的截面图则简单得多。通过在可积系统中加入微小效应，我们可以深入了解这种复杂行为是如何产生的。

可积系统的截面图只表现出某些特定的轨道类型。有对应于平衡点或周期轨道的不动点。不动点可以是稳定的或不稳定的，这取决于相应平衡点或轨道的稳定性。在截面上存在一些点集，它们随时间向前和向后渐近趋向于不稳定不动点。还有一些轨迹集合落在不变曲线上。如果不变曲线的旋转数为无理数，则每条轨迹稠密地覆盖整条不变曲线；如果旋转数为有理数，则每条轨迹只访问不变曲线上有限个点。

线性稳定性分析研究截面上不动点附近运动的性质。这些点对应于平衡点或周期轨道。运动具有特征频率，每个特征频率对应一个特征方向。对于哈密顿系统，只有某些特定的特征频率模式是可能的。在由哈密顿系统生成的二维保面积截面上，不动点要么是线性稳定的（椭圆不动点），要么是线性不稳定的（双曲不动点）。

加入微小效应后，截面图会以某些典型方式发生变化。一种特征性变化发生在不稳定不动点附近。稳定流形与不稳定流形——即由随时间向前和向后渐近趋向于不稳定不动点的点集所组成的曲线——不再光滑连接，而是相互交叉。第一次交叉意味着存在无穷多次其他交叉，稳定流形与不稳定流形会发展出极其复杂的缠结。

庞加莱-伯克霍夫构造表明，当系统变为不可积时，可积系统特征中具有有理旋转数的不变曲线上的无穷多个周期轨道如何退化为有限个交替的稳定和不稳定不动点。这一现象是递归的，因此我们发现它发展出了无穷的层次结构：每个稳定不动点周围的区域本身也充满了具有交替稳定和不稳定不动点的可公度性。

有些不变曲线在可积系统加入微小效应后仍然存在。柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽定理证明某些不变曲线在受到扰动时仍然持续存在。我们可以通过比较从不变曲线上候选初始点生成的点的模式与所寻找的不变曲线的预期点的模式，来找到特定旋转数的不变曲线。随着外加效应的增强，那些具有最无理旋转数的不变曲线存活得最久。在破裂点处，不变曲线上各点的访问概率呈现出自相似的外观。对于更大的扰动，不变曲线消失，留下一个具有无穷多个洞的不变集合。